13. Théorie de la diffusion
553
C’est bien sûr le comportement en 1/r du terme d’onde sphérique sortante
qui assure que le flux dans un angle solide donné ∆Ω est indépendant de r.
La définition (13.1) de la section efficace différentielle permet l’identification
pour n c =1
dσ
dΩ
= |f (Ω)|
2
(13.12)
13.2 Ondes partielles et déphasages
13.2.1 Développement en ondes partielles
Nous avons exposé au § 9.4.1 une méthode de résolution de l’équation de
Schrödinger lorsque le potentiel V (r) est à symétrie sphérique. La méthode
utilisée consiste à développer la fonction d’onde en harmoniques sphériques
suivant (9.77)
ψ(r, θ, φ)=
l,m l
u l (r)
r
Y
m l
l (θ, φ)
La symétrie cylindrique autour de Oz du présent problème permet de se limiter aux termes indépendants de φ : m l =0 ,e tc o m p t et e n ud el ap r o p o r -
tionnalité (9.62) entre les harmonique sphériques m l =0et les polynômes de
Legendre, nous pouvons nous contenter de
5
ψ(r, θ)=
∞
l=0
u l (r)
r
P l (cos θ)
(13.13)
où u l (r) est solution de l’équation radiale (9.78)
−
2
2m
d
2
dr 2 +
l(l +1)
2mr 2 + V (r)
u l (r)=E l u l (r)
(13.14)
avec la condition aux limites u l (0) = 0, ou de façon plus précise suivant (9.82)
r → 0:u l (r) ∝ r
l+1
(13.15)
Commme les polynômes de Legendre forment une base pour les fonctions
définies sur l’intervalle [−1, +1], on peut écrire le développement suivant de
f (θ)
f (θ)=
∞
l=0
f l P l (cos θ)
f l =
2l +1
2
+1
−1
f (θ)P l (cos θ) d cos θ (13.16)
Le développement (13.16) est appelé développement en ondes partielles de
l’amplitude de diffusion.
5. Nous avons modifié la normalisation de u l (r) d’un facteur sans importance
Ô
4π/(2l +1) en passant d’une équation à l’autre.
553
C’est bien sûr le comportement en 1/r du terme d’onde sphérique sortante
qui assure que le flux dans un angle solide donné ∆Ω est indépendant de r.
La définition (13.1) de la section efficace différentielle permet l’identification
pour n c =1
dσ
dΩ
= |f (Ω)|
2
(13.12)
13.2 Ondes partielles et déphasages
13.2.1 Développement en ondes partielles
Nous avons exposé au § 9.4.1 une méthode de résolution de l’équation de
Schrödinger lorsque le potentiel V (r) est à symétrie sphérique. La méthode
utilisée consiste à développer la fonction d’onde en harmoniques sphériques
suivant (9.77)
ψ(r, θ, φ)=
l,m l
u l (r)
r
Y
m l
l (θ, φ)
La symétrie cylindrique autour de Oz du présent problème permet de se limiter aux termes indépendants de φ : m l =0 ,e tc o m p t et e n ud el ap r o p o r -
tionnalité (9.62) entre les harmonique sphériques m l =0et les polynômes de
Legendre, nous pouvons nous contenter de
5
ψ(r, θ)=
∞
l=0
u l (r)
r
P l (cos θ)
(13.13)
où u l (r) est solution de l’équation radiale (9.78)
−
2
2m
d
2
dr 2 +
l(l +1)
2mr 2 + V (r)
u l (r)=E l u l (r)
(13.14)
avec la condition aux limites u l (0) = 0, ou de façon plus précise suivant (9.82)
r → 0:u l (r) ∝ r
l+1
(13.15)
Commme les polynômes de Legendre forment une base pour les fonctions
définies sur l’intervalle [−1, +1], on peut écrire le développement suivant de
f (θ)
f (θ)=
∞
l=0
f l P l (cos θ)
f l =
2l +1
2
+1
−1
f (θ)P l (cos θ) d cos θ (13.16)
Le développement (13.16) est appelé développement en ondes partielles de
l’amplitude de diffusion.
5. Nous avons modifié la normalisation de u l (r) d’un facteur sans importance
Ô
4π/(2l +1) en passant d’une équation à l’autre.