13. Théorie de la diffusion
559
mais cette équation est précisément celle qui détermine les états liés. En effet,
la fonction d’onde d’un état lié d’énergie E = −B<0 est donnée par
r>R : u(r)=Ce
−κr
r ′ r
avec κ =(2mB/
2 )
1/2 , k
′ =[2m(V 0 + B)]
1/2 /,e tl ac o n t i n u i t éd el ad é r i v é e
logarithmique à r = R s’écrit
−κ = k
′ cot k
′ R
(13.34)
ce qui est exactement l’équation donnant les pôles de S(k).L er é s u l t a te s t
général pour les potentiels décroissant suffisamment vite à l’infini et il est
valable pour toute onde partielle : les pôles de S l (k) pour k = iκ donnent la
position des états liés dans l’onde partielle l.
Il est facile de déduire la longueur de diffusion de (13.31) ; cette équation
s’écrit aussi
tan(kR + δ)=
k
k ′ tan k
′ R
Dans la limite k → 0, kR → 0, δ → 0 et k
′ → k 0 =(2mV 0 /
2 )
1/2 ,d ’ o ù
kR + δ(k) ≃
k
k 0
tan k 0 R
soit
δ(k) ≃−k
R −
tan k 0 R
k 0
ce qui donne d’après la définition (13.29)
a = R
1 −
tan k 0 R
k 0 R
(13.35)
Un autre cas particulier intéressant est celui de la diffusion par une sphère
dure : V (r)=0si r>Ret V (r)=+∞ si r u(r) doit s’annuler à r = R
r>R : u(r)=C sin(kR + δ)
r et donc kR + δ = nπ et pour k suffisamment petit
δ = −kR
a = R
(13.36)
Le signe (−) dans la définition (13.29) a été choisi de sorte que la longueur
de diffusion d’une sphère dure soit +R et non −R. L’étude qualitative du
comportement de u(r) sur la figure 13.5 montre que a>0 pour tout potentiel
répulsif. La situation est plus complexe pour un potentiel attractif. Lorsqu’il