560
Physique quantique : Exercices et applications
r
V (r)
u(r)
a
(a) a>0
u(r)
V (r)
a
(b) a<0
u(r)
a
V (r)
(c) a> 0
r
r
Fig. 13.5 – Comportement de la fonction d’onde et de la longueur de diffusion
pour différents potentiels. (a) Potentiel répulsif. (b) Potentiel attractif sans état lié.
(c) Potentiel attractif avec un seul état lié.
n’existe pas d’état lié, un potentiel attractif donne une longueur de diffusion
négative. L’apparition d’un état lié change le signe de a, qui devient positif.
Le signe change à nouveau avec l’apparition d’un second état lié, etc. Ceci
est confirmé par (13.35) : la condition d’apparition d’un premier état lié est
k 0 R = π/2 et la longueur de diffusion est négative pour 0
reste pour π/2
cette valeur après être passée à nouveau par une valeur infinie. Une longueur
de diffusion grande et positive signale la présence d’un état lié de faible énergie
et si elle est grande et négative, elle signale la proximité de l’apparition d’un
état lié : on dit parfois qu’il existe un état anti-lié ou virtuel.
La section efficace de basse énergie est isotrope d’après (13.12), et la section
efficace totale est
σ tot =4πa
2
(13.37)
Il est intéressant de remarquer que la section efficace quantique d’une sphère
dure (a = R) est quatre fois la section efficace classique πR
2 .L am e s u r ed e
la section efficace totale ne donne que la valeur absolue de a.O rl esigne de
la longueur de diffusion est une donnée importante : par exemple, le potentiel
effectif que nous allons définir au paragraphe suivant est attractif pour a<0
et répulsif pour a>0, ce qui a des conséquences directes par exemple sur
la possibilité de former des condensats de Bose-Einstein atomiques gazeux
(section 14.4). Un autre cas important est celui de la diffusion neutron-proton
(§ 13.2.4).
La forme de basse énergie δ(k) ≃− ka est, en fait, le premier terme d’un
développement du déphasage en fonction de k
2 . L’exercice 13.6.3 montre que
la fonction k cot δ(k) est une fonction analytique
9 de k
2 dont on peut écrire
9. Si V (r) décroît au moins aussi vite que exp(−µr). L’équation (13.38) est valable
pourvu que V (r) décroisse au moins comme r −5 .
Physique quantique : Exercices et applications
r
V (r)
u(r)
a
(a) a>0
u(r)
V (r)
a
(b) a<0
u(r)
a
V (r)
(c) a> 0
r
r
Fig. 13.5 – Comportement de la fonction d’onde et de la longueur de diffusion
pour différents potentiels. (a) Potentiel répulsif. (b) Potentiel attractif sans état lié.
(c) Potentiel attractif avec un seul état lié.
n’existe pas d’état lié, un potentiel attractif donne une longueur de diffusion
négative. L’apparition d’un état lié change le signe de a, qui devient positif.
Le signe change à nouveau avec l’apparition d’un second état lié, etc. Ceci
est confirmé par (13.35) : la condition d’apparition d’un premier état lié est
k 0 R = π/2 et la longueur de diffusion est négative pour 0
reste pour π/2
cette valeur après être passée à nouveau par une valeur infinie. Une longueur
de diffusion grande et positive signale la présence d’un état lié de faible énergie
et si elle est grande et négative, elle signale la proximité de l’apparition d’un
état lié : on dit parfois qu’il existe un état anti-lié ou virtuel.
La section efficace de basse énergie est isotrope d’après (13.12), et la section
efficace totale est
σ tot =4πa
2
(13.37)
Il est intéressant de remarquer que la section efficace quantique d’une sphère
dure (a = R) est quatre fois la section efficace classique πR
2 .L am e s u r ed e
la section efficace totale ne donne que la valeur absolue de a.O rl esigne de
la longueur de diffusion est une donnée importante : par exemple, le potentiel
effectif que nous allons définir au paragraphe suivant est attractif pour a<0
et répulsif pour a>0, ce qui a des conséquences directes par exemple sur
la possibilité de former des condensats de Bose-Einstein atomiques gazeux
(section 14.4). Un autre cas important est celui de la diffusion neutron-proton
(§ 13.2.4).
La forme de basse énergie δ(k) ≃− ka est, en fait, le premier terme d’un
développement du déphasage en fonction de k
2 . L’exercice 13.6.3 montre que
la fonction k cot δ(k) est une fonction analytique
9 de k
2 dont on peut écrire
9. Si V (r) décroît au moins aussi vite que exp(−µr). L’équation (13.38) est valable
pourvu que V (r) décroisse au moins comme r −5 .