13. Théorie de la diffusion
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le développement de Taylor pour k
2 → 0
k cot δ(k)=−
1
a
+
1
2
r 0 k
2 + O(k
4 )
(13.38)
La longeur r 0 est appelée portée effective. On utilise souvent la forme de basse
énergie de l’amplitude de diffusion
f (k)=
e
2iδ(k) − 1
2ik
=
1
k[cot δ(k) − i]
soit, en exprimant cot δ(k) en fonction de a si r 0 k ≪ 1
f (k)=
−a
1+ika
(13.39)
Cette forme peut être rendue plus précise si l’on utilise l’approximation de
portée effective (13.38)
f (k)=
−a
1+ika −
1
2 r 0 ak 2
(13.40)
13.2.3 Potentiel effectif
La longueur de diffusion permet d’introduire la notion très utile de potentiel effectif. Lorsque l’on considère un sytème de particules de basse énergie,
il est souvent commode de pouvoir remplacer le potentiel réel V (r) par un
potentiel V eff (r) plus simple, appelé potentiel effectif,o upseudo-potentiel,q u i
donne les mêmes résultats pour la diffusion de basse énergie. Ce potentiel effectif est utilisé, par exemple, dans le traitement théorique de la diffusion de
neutrons de basse énergie ou des condensats de Bose-Einstein atomiques gazeux (section 14.4). Nous allons montrer que la diffusion de basse énergie est
reproduite en choisissant un potentiel effectif proportionnel à une fonction δ
V eff (r)ψ(r)=gδ( r)
d
dr
(rψ(r))
(13.41)
où g est une constante à déterminer. Pour justifier ce potentiel et déterminer g,
examinons l’équation de Schrödinger pour une fonction d’onde ψ(r)=u(r)/r.
L’expression du laplacien appliqué à une fonction de r
∇
2 f (r)=
1
r
d
2
dr 2 (rf(r))
(13.42)
n’est valable que pour une fonction f (r) régulière à r =0 , tandis que pour
f (r) ∝ 1/r, on utilise l’équation familière en électrostatique
∇
2 1
r
= −4πδ( r)
(13.43)