562
Physique quantique : Exercices et applications
Examinons l’équation de Schrödinger en prenant comme potentiel (13.41)
−
2
2m
∇
2 u(r)
r
+ V eff (r)
u(r)
r
=
2 k
2
2m
u(r)
r
et écrivons le terme d’énergie cinétique
∇
2 u(r)
r
= ∇
2
u(r) − u(0)
r
+ u(0)∇
2 1
r
=
1
r
d
2
dr 2 r
u(r) − u(0)
r
− 4πu(0)δ( r)=
1
r
d
2 u(r)
dr 2 − 4πu(0)δ( r)
où nous avons remarqué que [u(r) − u(0)]/r est une fonction régulière à r =0
pour calculer le laplacien. En outre, si l’on écrit
u(r)=a + br + cr
2 + ···
alors
1
r
d
2 u
dr 2 =
2c
r
+ ···
et l’intégrale de ce terme dans une sphère de rayon R autour de l’origine tend
vers zéro avec R. Nous avons donc
−
2
2mr
d
2 u(r)
dr 2 −
2 k
2
2m
u(r)
r
=
−
4π
2
2m
u(0) − gu
′ (0)
δ( r)
Les deux membres de l’équation précédente doivent s’annuler séparément, ce
qui implique, pour le membre de gauche
u(r)=C sin(kr + δ(k))
r>0
et donc u
′ (0)/u(0) = k cot δ(k). L’annulation du coefficient de δ( r) impose
−
2π
2
m
= gk cot δ(k)
et la limite k → 0 de cette équation permet de relier
10 g et a
g =
2π
2
m
aV eff ( r)=
2π
2 a
m
δ( r)
d
dr
r
(13.44)
Le potentiel effectif dépend d’un seul paramètre, la longueur de diffusion a,que
l’on prend bien sûr égale à celle d’un potentiel plus réaliste ou tout simplement
10. Il faut se rappeler que si l’on considère la diffusion de particules identiques de masse
M , la masse réduite m = M/2 et
g =
4π 2
M
a
Physique quantique : Exercices et applications
Examinons l’équation de Schrödinger en prenant comme potentiel (13.41)
−
2
2m
∇
2 u(r)
r
+ V eff (r)
u(r)
r
=
2 k
2
2m
u(r)
r
et écrivons le terme d’énergie cinétique
∇
2 u(r)
r
= ∇
2
u(r) − u(0)
r
+ u(0)∇
2 1
r
=
1
r
d
2
dr 2 r
u(r) − u(0)
r
− 4πu(0)δ( r)=
1
r
d
2 u(r)
dr 2 − 4πu(0)δ( r)
où nous avons remarqué que [u(r) − u(0)]/r est une fonction régulière à r =0
pour calculer le laplacien. En outre, si l’on écrit
u(r)=a + br + cr
2 + ···
alors
1
r
d
2 u
dr 2 =
2c
r
+ ···
et l’intégrale de ce terme dans une sphère de rayon R autour de l’origine tend
vers zéro avec R. Nous avons donc
−
2
2mr
d
2 u(r)
dr 2 −
2 k
2
2m
u(r)
r
=
−
4π
2
2m
u(0) − gu
′ (0)
δ( r)
Les deux membres de l’équation précédente doivent s’annuler séparément, ce
qui implique, pour le membre de gauche
u(r)=C sin(kr + δ(k))
r>0
et donc u
′ (0)/u(0) = k cot δ(k). L’annulation du coefficient de δ( r) impose
−
2π
2
m
= gk cot δ(k)
et la limite k → 0 de cette équation permet de relier
10 g et a
g =
2π
2
m
aV eff ( r)=
2π
2 a
m
δ( r)
d
dr
r
(13.44)
Le potentiel effectif dépend d’un seul paramètre, la longueur de diffusion a,que
l’on prend bien sûr égale à celle d’un potentiel plus réaliste ou tout simplement
10. Il faut se rappeler que si l’on considère la diffusion de particules identiques de masse
M , la masse réduite m = M/2 et
g =
4π 2
M
a