13. Théorie de la diffusion
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de l’expérience. Examinons aussi les états liés du potentiel effectif. La fonction
d’onde radiale de cet état lié doit être de la forme
u(r)=Ce
−κr
et par conséquent u
′ (0)/u(0) = −κ. On en déduit une relation entre l’énergie
de liaison B et la longueur de diffusion
κ =
2mB
2 =
2π
2 g
m
=
1
a
(13.45)
L’état lié du potentiel effectif est unique, et on retrouve le fait que a>0 si
l’on veut un état lié et un seul. En résumé, un potentiel effectif tel que a>0
correspond aussi bien à une sphère dure qu’à un potentiel attractif possédant
un seul état lié. Ces deux potentiels donneront le même comportement pour
un ensemble de particules de basse énergie, alors que le comportement sera
différent si a<0 : c’est le signe de la longueur de diffusion qui est crucial. La
fonction k cot δ(k) est une constante
k cot δ(k)=−
2π
2
mg
= −
1
a
et l’amplitude de diffusion du potentiel effectif est donnée exactement par
(13.39)
f eff (k)=
−a
1+ika
13.2.4 Diffusion neutron-proton à basse énergie
La diffusion neutron-proton à basse énergie fournit une illustration d’une
grande importance pratique du formalisme que nous venons de développer,
l’autre application importante étant celle aux condensats de Bose-Einstein.
Le proton et le neutron sont des particules de spin 1/2, et comme la diffusion
dépend du spin, nous devons généraliser les résultats précédents pour en tenir
compte. Dans la diffusion à basse énergie, le spin total
S tot est conservé. En
effet, le moment angulaire orbital est nul, puisque la diffusion se fait dans
l’onde s, et la conservation du moment angulaire total est équivalente à celle
du spin total. L’amplitude de diffusion peut s’écrire comme un opérateur ˆ
f
agissant dans l’espace H à quatre dimensions, produit tensoriel des espaces
des états des deux spins 1/2, en fonction des projecteurs P s = P 0 et P t = P 1
sur les états singulet (spin total zéro) et triplets (spin total un) donnés en
(9.128)
ˆ
f (k)=f s (k)P s + f t (k)P t
Cette écriture de ˆ
f assure que le spin total est inchangé dans la diffusion : un
état singulet reste singulet et un état triplet reste triplet. Nous allons nous
limiter au cas ka ≪ 1, et d’après (13.39)
f s (k)=−a s
f t (k)=−a t
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de l’expérience. Examinons aussi les états liés du potentiel effectif. La fonction
d’onde radiale de cet état lié doit être de la forme
u(r)=Ce
−κr
et par conséquent u
′ (0)/u(0) = −κ. On en déduit une relation entre l’énergie
de liaison B et la longueur de diffusion
κ =
2mB
2 =
2π
2 g
m
=
1
a
(13.45)
L’état lié du potentiel effectif est unique, et on retrouve le fait que a>0 si
l’on veut un état lié et un seul. En résumé, un potentiel effectif tel que a>0
correspond aussi bien à une sphère dure qu’à un potentiel attractif possédant
un seul état lié. Ces deux potentiels donneront le même comportement pour
un ensemble de particules de basse énergie, alors que le comportement sera
différent si a<0 : c’est le signe de la longueur de diffusion qui est crucial. La
fonction k cot δ(k) est une constante
k cot δ(k)=−
2π
2
mg
= −
1
a
et l’amplitude de diffusion du potentiel effectif est donnée exactement par
(13.39)
f eff (k)=
−a
1+ika
13.2.4 Diffusion neutron-proton à basse énergie
La diffusion neutron-proton à basse énergie fournit une illustration d’une
grande importance pratique du formalisme que nous venons de développer,
l’autre application importante étant celle aux condensats de Bose-Einstein.
Le proton et le neutron sont des particules de spin 1/2, et comme la diffusion
dépend du spin, nous devons généraliser les résultats précédents pour en tenir
compte. Dans la diffusion à basse énergie, le spin total
S tot est conservé. En
effet, le moment angulaire orbital est nul, puisque la diffusion se fait dans
l’onde s, et la conservation du moment angulaire total est équivalente à celle
du spin total. L’amplitude de diffusion peut s’écrire comme un opérateur ˆ
f
agissant dans l’espace H à quatre dimensions, produit tensoriel des espaces
des états des deux spins 1/2, en fonction des projecteurs P s = P 0 et P t = P 1
sur les états singulet (spin total zéro) et triplets (spin total un) donnés en
(9.128)
ˆ
f (k)=f s (k)P s + f t (k)P t
Cette écriture de ˆ
f assure que le spin total est inchangé dans la diffusion : un
état singulet reste singulet et un état triplet reste triplet. Nous allons nous
limiter au cas ka ≪ 1, et d’après (13.39)
f s (k)=−a s
f t (k)=−a t