13. Théorie de la diffusion
551
où m est la masse des particules incidentes, E leur énergie et |A|
2 = n i leur
densité. Le courant j associé à l’onde plane (13.5) est donné par (8.123)
j =
2mi
ϕ
∗
∇ϕ − (
∇ϕ)
∗ ϕ
= |A|
2 k
m
= |A|
2 v
(13.6)
Le flux de particules incidentes F = | j | = |A|
2 v. L’onde plane ϕ( r) est solution
de l’équation de Schrödinger indépendante du temps en l’absence de potentiel
(V (r)=0)
−
2
2m
∇
2 ϕ( r)=
2 k
2
2m
ϕ( r)=Eϕ( r)
(13.7)
Lorsque V (r) =0, pour une même valeur de l’énergie E, nous montrerons au
§ 13.4.1 qu’il existe des solutions de l’équation de Schrödinger ψ
(+)
k
( r) indicées
par le vecteur d’onde k
−
2
2m
∇
2 + V (r)
ψ
(+)
k
( r)=Eψ
(+)
k
( r)
(13.8)
se comportant pour r →∞comme
ψ
(+)
k
( r)=A
e
i k· r + f (Ω)
e
ikr
r
(13.9)
où f est une fonction complexe de Ω − dans notre cas uniquement de θ en
raison de l’invariance par rotation autour de Oz −, appelée amplitude de
diffusion et A une constante de normalisation que nous choisirons en général égale à 1, A =1 . Le premier terme de (13.9) est l’onde plane incidente
exp(i k · r)=exp(ikz), et le deuxième représente une onde sphérique sortante,
ce que nous allons montrer dans un instant. Il est essentiel de remarquer que
ce sont les valeurs absolues k et r qui figurent dans ce deuxième terme. L’expression (13.9) est valable pourvu que le potentiel V (r) décroisse suffisamment
vite pour r →∞ . Elle n’est pas valable pour un potentiel coulombien, dont
la décroissance en 1/r est trop lente. Il existe aussi des solutions de l’équation
de Schrödinger avec un terme d’onde sphérique entrante
ψ
(−)
k
( r)=A
e
i k· r + f (Ω)
e
−ikr
r
(13.10)
solutions sur lesquelles nous reviendrons ultérieurement.
Calculons le courant total pour la fonction d’onde asymptotique (13.9). Ce
courant se compose du courant de l’onde plane, de celui de l’onde sphérique et
d’un terme d’interférences. C’est ici que nous devons faire appel à un argument
physique, car l’extension transverse de l’onde plane est en fait limitée, et non
infinie (figure 13.3), et sauf dans la région de recouvrement du paquet d’ondes
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où m est la masse des particules incidentes, E leur énergie et |A|
2 = n i leur
densité. Le courant j associé à l’onde plane (13.5) est donné par (8.123)
j =
2mi
ϕ
∗
∇ϕ − (
∇ϕ)
∗ ϕ
= |A|
2 k
m
= |A|
2 v
(13.6)
Le flux de particules incidentes F = | j | = |A|
2 v. L’onde plane ϕ( r) est solution
de l’équation de Schrödinger indépendante du temps en l’absence de potentiel
(V (r)=0)
−
2
2m
∇
2 ϕ( r)=
2 k
2
2m
ϕ( r)=Eϕ( r)
(13.7)
Lorsque V (r) =0, pour une même valeur de l’énergie E, nous montrerons au
§ 13.4.1 qu’il existe des solutions de l’équation de Schrödinger ψ
(+)
k
( r) indicées
par le vecteur d’onde k
−
2
2m
∇
2 + V (r)
ψ
(+)
k
( r)=Eψ
(+)
k
( r)
(13.8)
se comportant pour r →∞comme
ψ
(+)
k
( r)=A
e
i k· r + f (Ω)
e
ikr
r
(13.9)
où f est une fonction complexe de Ω − dans notre cas uniquement de θ en
raison de l’invariance par rotation autour de Oz −, appelée amplitude de
diffusion et A une constante de normalisation que nous choisirons en général égale à 1, A =1 . Le premier terme de (13.9) est l’onde plane incidente
exp(i k · r)=exp(ikz), et le deuxième représente une onde sphérique sortante,
ce que nous allons montrer dans un instant. Il est essentiel de remarquer que
ce sont les valeurs absolues k et r qui figurent dans ce deuxième terme. L’expression (13.9) est valable pourvu que le potentiel V (r) décroisse suffisamment
vite pour r →∞ . Elle n’est pas valable pour un potentiel coulombien, dont
la décroissance en 1/r est trop lente. Il existe aussi des solutions de l’équation
de Schrödinger avec un terme d’onde sphérique entrante
ψ
(−)
k
( r)=A
e
i k· r + f (Ω)
e
−ikr
r
(13.10)
solutions sur lesquelles nous reviendrons ultérieurement.
Calculons le courant total pour la fonction d’onde asymptotique (13.9). Ce
courant se compose du courant de l’onde plane, de celui de l’onde sphérique et
d’un terme d’interférences. C’est ici que nous devons faire appel à un argument
physique, car l’extension transverse de l’onde plane est en fait limitée, et non
infinie (figure 13.3), et sauf dans la région de recouvrement du paquet d’ondes