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Physique quantique : Exercices et applications
Suggestion : examiner d(P m |ϕ m (t))/dt et utiliser |ϕ m (t) = A(t)|ϕ(0).E n
déduire
P m (t)| ˙
ϕ m (t) =0
et donc ϕ m | ˙
ϕ m =0 . Le choix de phase implicite fait dans la question 1
interdit d’obtenir la phase de Berry.
5. Construire l’opérateur K dans le cas étudié au § 12.6.1 et montrer que
K =
1
2
˙
φφ σ ·
ˆ
n ×
dˆ n
dt
où ˆ
n est le vecteur unitaire d’angles polaires (θ, φ(t)). Vérifier que l’on a bien
ψ − | ˙
ψ − =0pour t infinitésimal, contrairement au traitement donné dans le
§ 12.6.1.
12.7.11 Spin 1/2 dans un champ magnétique :
relation avec l’étude générale
1. L’équation (12.160) définit un vecteur A m dans l’espace des paramètres.
Afin de simplifier les notations, on suppose que ∇ R a les propriétés d’un
gradient dans R
3 . En introduisant un système complet d’états
n |ϕ n ϕ n | =
I,m o n t r e rq u e
(∇×A m ) i = −Im
⎛
⎝
jk
n
ε ijk ∂ j ϕ m |ϕ n ϕ n |∂ k ϕ m
⎞
⎠
2. En partant de H(R)|ϕ n (R) = E n (R)|ϕ n (R), déduire
(∇×A m ) i = −Im
⎛
⎝
jk
n
ε ijk
ϕ m |∂ j H|ϕ n ϕ n |∂ k H|ϕ m
(E n − E m ) 2
⎞
⎠
3. On revient à l’exemple du § 12.6.1 où le hamiltonien est
H = −
1
2
γ
B · σ
Le paramètre est
B et ∂ i est la dérivée par rapport à B i .Montrerque(∇×A m )
se met sous la forme
(∇×A m )=−
ˆ
B
2B 2
et que
S(C)(∇×A m ) · dS = −
1
2
Ω
où Ω est l’angle solide sous lequel le contour C est vu depuis l’origine.