12. Méthodes semi-classiques
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12.7.12 Phase de Berry et effet Aharonov-Bohm
1. Considérons une particule chargée de charge q confinée dans une boîte
centrée en
R qui ne rencontre pas le solénoïde (figure 12.9). En l’absence de
tout champ magnétique (pas de courant dans le solénoïde), la fonction d’onde
de la particule est ϕ m ( r −
R). On suppose maintenant que le courant passe
dans le solénoïde ; le champ magnétique reste nul à l’intérieur de la boîte. Bien
que
B =0 , on doit cependant choisir
A =0 . Montrer que la fonction d’onde
devient
Ψ m ( r;
R)=exp
−
iq
r
R
A( r
′ )d r
′
ϕ m ( r −
R)
2. On fait décrire à la boîte de façon adiabatique un tour complet autour
du solénoïde. Montrer que dans les notations de (12.160)
A m (
R, t)=iΨ m ( r;
R)|
∇
R Ψ m ( r;
R)
et calculer
A m
A m = −
q
A(
R)+i
d
3 rϕ
∗
m ( r −
R)
∇
R ϕ m ( r −
R)
3. Montrer que si l’on fait un tour complet autour du solénoïde
C
A m (
R) · d
R = −
qΦ
où Φ est le flux du champ magnétique à travers le contour C.
12.8 Bibliographie
L’article de référence sur l’approximation semi-classique est celui de
Berry [1991] ; voir aussi les livres de Gutzwiller [1990] et de Stöckman [1999].
On pourra compléter l’exposé de l’intégrale de chemin par les livres de
Schulman [1981], Parisi [1989], chapitres 13 et 14, ou Zinn-Justin [2003]. Notre
exposé de l’approximation BKW est inspiré de celui de Child [1991], Appendice A. Une bonne introduction à la distribution de Wigner se trouve dans
Ballentine [1998], chapitre 15, que l’on pourra compléter par l’article de revue
de Hillery et al. [1984]. Les articles essentiels sur les phases géométriques sont
rassemblés dans Shapere et Wilczek [1989].