12. Méthodes semi-classiques
543
2. On introduit l’opérateur unitaire Φ(t) par
Φ(t)=
j
e
−iαj (t) P j (0)
où α j (t) est défini en (12.147). On note que Φ(t) obéit à
i
dΦ
dt
= H
(A) (t)Φ(t)
H
(A) (t)=
j
E j (t)P j (0)
À l’approximation adiabatique, l’opérateur d’évolution est U A (t, 0) =
A(t)Φ(t),c a r
U A (t, 0)|ϕ j (0) = e
−iαj (t) |ϕ j (t)
Pour étudier les déviations à l’approximation adiabatique, on écrit
U (t, 0) = U A (t, 0) ˆ
U (t, 0) = A(t)Φ(t) ˆ
U (t, 0)
Expliquer pourquoi ˆ
U(t, 0) est l’opérateur d’évolution dans les axes tournants.
Montrer que
i
d ˆ
U
dt
= W ˆ
UW = −Φ
† A
† KAΦ
3. Au premier ordre en théorie des perturbations, on peut écrire
ˆ
U (t, 0) = I − i
t
0
W (t
′ )dt
′
Si on part au temps t =0de l’état |ϕ m (0), la probabilité de transition m → k
est donnée au temps t par
p m→k (t)=||ϕ k (t)|U (t, 0)|ϕ m (0)|
2
En déduire
p m→k (t) ≃| | ϕ k (0)|F (t)|ϕ m (0)|
2
F (t)=
t
0
Φ
† (t
′ )A
† (t
′ )K(t
′ )A(t
′ )Φ(t
′ ) dt
′
d’où
p m→k (t) ≃
t
0
e
i[α k (t
′ )−αm(t
′ )] ϕ k (t
′ )| ˙
ϕ m (t
′ ) dt
′
2
ce qui montre (12.153).
4. Montrer que les résultats de la question 1 impliquent
| ˙
ϕ m (t) =
dP m
dt
|ϕ m (t)