542
Physique quantique : Exercices et applications
1. Terme d’énergie cinétique.S o i tH = K + V , la décomposition de H en
énergie cinétique K et énergie potentielle V . Montrer que la contribution de
K à l’évolution de w est
∂
∂t
w(x, p; t)
K
= −
p
m
∂
∂x
w(x, p; t)
2. Terme d’énergie potentielle. On se sert cette fois de la représentation
(12.116) de w,enpartan tdex|ρ|x
′ avec x → x + y/2, x
′ → x − y/2.Montrer
que la contribution de V à l’évolution de w est le deuxième terme de (12.122).
En utilisant un développement de Taylor, montrer
∂
∂t
w(x, p; t)
V
=
n impair
1
n!
−i
2
n−1 d
n V (x)
dx n
∂
n
∂p n w(x, p; t)
Cette équation semble conduire à un développement en puissances de ,m a i s
c’est une illusion, sauf cas particulier : il est clair sur (12.129) que ∂/∂p introduit des puissances de 1/.
12.7.10 Probabilités de transition à l’approximation
adiabatique
1. Suivant Messiah [1959], chapitre XVII, on définit l’opérateur unitaire
A(t) permettant de “passer aux axes tournants”, c’est-à-dire de suivre les vecteurs propres de H(t) que l’on suppose non dégénérés, par
|ϕ j (t) = A(t)|ϕ j (0)
où |ϕ j (0) et |ϕ j (t) sont vecteurs propres de H(0) et H(t) (cf. (12.142) et
(12.143)). On pose =1pour simplifier les notations. L’opérateur hermitien
K(t) est défini par l’évolution de A(t)
i
dA
dt
= K(t)A(t)
A(0) = 1
Les opérateurs A(t) et K(t) ne sont pas uniques. Montrer qu’un choix possible
est
K(t)=i
j
dP j
dt
P j (t)=−i
j
P j (t)
dP j
dt
où P j (t) est le projecteur sur |ϕ j (t)
P j (t)=|ϕ j (t)ϕ j (t)| = A(t)P j (0)A
† (t)
Suggestion : montrer que
i
dP j
dt
=[K, P j ]
Physique quantique : Exercices et applications
1. Terme d’énergie cinétique.S o i tH = K + V , la décomposition de H en
énergie cinétique K et énergie potentielle V . Montrer que la contribution de
K à l’évolution de w est
∂
∂t
w(x, p; t)
K
= −
p
m
∂
∂x
w(x, p; t)
2. Terme d’énergie potentielle. On se sert cette fois de la représentation
(12.116) de w,enpartan tdex|ρ|x
′ avec x → x + y/2, x
′ → x − y/2.Montrer
que la contribution de V à l’évolution de w est le deuxième terme de (12.122).
En utilisant un développement de Taylor, montrer
∂
∂t
w(x, p; t)
V
=
n impair
1
n!
−i
2
n−1 d
n V (x)
dx n
∂
n
∂p n w(x, p; t)
Cette équation semble conduire à un développement en puissances de ,m a i s
c’est une illusion, sauf cas particulier : il est clair sur (12.129) que ∂/∂p introduit des puissances de 1/.
12.7.10 Probabilités de transition à l’approximation
adiabatique
1. Suivant Messiah [1959], chapitre XVII, on définit l’opérateur unitaire
A(t) permettant de “passer aux axes tournants”, c’est-à-dire de suivre les vecteurs propres de H(t) que l’on suppose non dégénérés, par
|ϕ j (t) = A(t)|ϕ j (0)
où |ϕ j (0) et |ϕ j (t) sont vecteurs propres de H(0) et H(t) (cf. (12.142) et
(12.143)). On pose =1pour simplifier les notations. L’opérateur hermitien
K(t) est défini par l’évolution de A(t)
i
dA
dt
= K(t)A(t)
A(0) = 1
Les opérateurs A(t) et K(t) ne sont pas uniques. Montrer qu’un choix possible
est
K(t)=i
j
dP j
dt
P j (t)=−i
j
P j (t)
dP j
dt
où P j (t) est le projecteur sur |ϕ j (t)
P j (t)=|ϕ j (t)ϕ j (t)| = A(t)P j (0)A
† (t)
Suggestion : montrer que
i
dP j
dt
=[K, P j ]