12. Méthodes semi-classiques
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La fonction d’onde BKW s’écrit dans la région x<0 comme
ϕ(x)=
1
k(x)
A 1 exp
−i
x
0
k(u) du
+ A 2 exp
i
x
0
k(u) du
et dans la région x>0
ϕ(x)=
1
κ(x)
B 1 exp
x
0
κ(u) du
+ B 2 exp
−
x
0
κ(u) du
Montrer que si C B =0(voir (12.93)), on peut obtenir les relations
A 1 = B 2 e
iπ/4
A 2 = B 2 e
−iπ/4
En déduire (12.95).
12.7.8 Propriétés de la distribution de Wigner
1. Démontrer l’inégalité suivante pour deux opérateurs statistiques ρ et ρ
′
0 ≤ Tr(ρρ
′ ) ≤ 1
Suggestion : écrire
ρ =
n
p n |i n i n |
ρ
′ =
n
p
′
n |α n α n |
Montrer que cette égalité est saturée si et seulement si ρ = ρ
′ = |ϕϕ| (cas
pur).
2. Déduire la relation (12.121) de l’inégalité précédente. En prenant
ρ = |ϕϕ|
ρ
′ = |ψψ|| ψ|ϕ =0
montrer que w doit nécessairement prendre des valeurs négatives. Enfin, en
prenant ρ = ρ
′ = |ϕϕ|, déduire (12.125).
12.7.9 Évolution temporelle de la distribution
de Wigner
On part de l’équation d’évolution (11.33) dont on déduit celle des éléments
de matrice p|ρ|p
′ (ou x|ρ|x
′ )d eρ
∂
∂t
p|ρ|p
′ =
i
p|[ρ, H]|p
′
L’équation d’évolution de w(x, p; t) s’obtient à partir de (12.117) avec p →
p + z/2, p
′ → p − z/2.