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Physique quantique : Exercices et applications
où U j est l’opérateur d’évolution en temps euclidien qui vérifie
dU j (τ, τ a )
dτ
= −HU j (τ, τ a )+j(τ )U j (τ, τ a )
U j (τ a ,τ a )=I
On prend la limite τ a →−∞,τ b →∞. Montrer que cette limite est contrôlée
uniquement par l’état fondamental |0 de H, que l’on prendra d’énergie nulle :
E 0 =0. En déduire que la valeur moyenne sur l’état fondamental (en général
appelée valeur moyenne sur le vide) de U j est
lim
τa→−∞
lim
τ b →+∞
0|U j (τ b ,τ a )|0 = Z(j)
dx a dx b ϕ 0 (x b )ϕ
∗
0 (x a )
où ϕ 0 (x)=x|0 est la fonction d’onde de l’état fondamental de l’oscillateur
harmonique
ϕ 0 (x)=
ω
π
1/4
exp
−
1
2
ωx
2
Effectuer l’intégration sur x a et x b et montrer que
lim
τa→−∞
lim
τ b →+∞
0|U j (τ b ,τ a )|0 =exp
1
2
dτ dτ
′ j(τ )D E (τ − τ
′ )j(τ
′ )
où
D E (τ )=
1
2ω
e
−ω|τ |
est le propagateur euclidien
6. Effectuer le prolongement analytique τ → it pour obtenir les résultats
en temps réel, en particulier (12.63). Montrerqueleprolongement du résultat
de la question 5 devient
lim
ta→−∞
lim
t b →+∞
0|U j (t b ,t a )|0 =exp
−
1
2
dtdt
′ j(t)D F (t − t
′ )j(t
′ )
où D F est le propagateur de Feynman (exercice 12.7.4). En fait, il est nécessaire de donner une partie imaginaire
19 à t : t a = |t a | exp[i(π − θ)],
t b = |t b | exp[−iθ],a v e c0 <θ<π/ 2. Les résultats de cet exercice sont d’une
importance fondamentale en théorie quantique des champs.
12.7.7 Formules de raccordement pour K<0
On suppose que la région x>0 au voisinage du point de rebroussement à
x =0est la région interdite classiquement
E − V (x)=−|K|x
19. Voir par exemple Parisi [1989], chapitre 13.