12. Méthodes semi-classiques
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4. Il existe plusieurs méthodes pour évaluer la contribution de S h à l’intégrale de chemin (τ a =0,τ b = τ )
S h =
h(0)=h(τ )=0
D[h(τ )] exp
−
1
2
τ
0
( ˙
h
2 + ω
2 h
2 )dτ
′
La méthode la plus directe, et sans doute la plus instructive (mais non la
plus rapide), consiste à revenir à la définition de l’intégrale de chemin en la
discrétisant. On divise l’intervalle [0,τ] en n intervalles de longueur ε = τ/n,
et
I = lim
ε→0
1
2πε
n/2 n−1
i=1
dh i exp
⎡
⎣ −
1
2
n−1
i,j=1
h i A ij h j
⎤
⎦
où A est une matrice (n − 1) × (n − 1) de la forme
A =
2
ε
1 −
1
2
ε
2 ω
2
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1 −a 0 ... 0
−a 1 −a ...
. . .
0 −a 1 −a
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . 0
0 ... ... −a 1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
avec
a =
1
2
1 −
1
2
ε
2 ω
2
En déduire
I =
1
2πε
n/2 (2π)
(n−1)/2
(det A) 1/2
Pour calculer det A, on remarque que le déterminant D n de la matrice n × n
vérifie la relation de récurrence
D n = D n−1 − a
2 D n−2
Montrer (ou vérifier) que la solution de cette relation de récurrence est
D n =
1
cos θ − sin θ
cos
n+1 θ − sin
n+1 θ
avec a =sin
2 θ cos
2 θ, θ<π/4. En déduire le résultat final pour I
I =
ω
2π sinh ωτ
1/2
5. On s’intéresse au cas où la source j(τ ) est non nulle uniquement dans
un intervalle [0,T]. On part de la forme opératorielle de Z(j)
Z(j)=x b |e
−H(τ b −T ) U j (T,0) e
Hτa |x a