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Physique quantique : Exercices et applications
où y(τ ) est une solution des équations du mouvement avec source (j =0)
−¨ y + ω
2 y = j
obéissant à y(τ a )=x a , y(τ b )=x b et h(τ ) une solution des équations du
mouvement libre (j =0)v é r i fi a n th(τ a )=h(τ b )=0.
1. Montrer que
y(τ )=y 0 (τ )+
τ b
τa
G(τ, τ
′ )j(τ
′ )dτ
′
où y 0 (τ ) est solution des équations du mouvement libre vérifiant y 0 (τ a )=x a ,
y 0 (τ b )=x b , et la fonction de Green G(τ, τ
′ ) est
G(τ, τ
′ )=θ(τ − τ
′ )u(τ )v(τ
′ )+θ(τ
′ − τ )v(τ )u(τ
′ )
Les fonctions u et v sont les solutions suivantes des équations du mouvement
libre
u(τ )=λ sinh ω(τ b − τ )
v(τ )=λ
′ sinh ω(τ − τ a )
Montrer que l’on doit choisir
λλ
′ =
1
ω sinh ωT
T = τ b − τ a
Suggestion : montrer que
d
2
dτ 2 − ω
2
G = δ(τ )[ ˙
u(0)v(0) − u(0) ˙
v(0)]
2. Calculer l’action euclidienne S E et la mettre sous la forme
S E (x b ,τ b ; x a τ a ; j)=
1
2
y(τ )˙ y(τ )
τ b
τa
−
1
2
dτj(τ )y(τ )+S h
= S E (x b ,τ b ; x a τ a ; j)+S h
On pourra remarquer que S E [y + h]=S E [y]+S E [h] :p o u r q u o i?
3. Évaluer S E (x b ,τ b ; x a τ a ; j)
S E (x b ,τ b ; x a τ a ; j)=
ω
2sinhωT
(x
2
a + x
2
b )coshωT − 2x a x b
−
x a
sinh ωT
τ b
τa
sin[ω(τ b − τ )]j(τ )dτ
−
x b
sinh ωT
τ b
τa
sinh[ω(τ − τ a )]j(τ )dτ
−
1
ω sinh ωT
dτ dτ
′ j(τ )θ(τ − τ
′ ) sinh[ω(τ b − τ )]
× sinh[ω(τ
′ − τ a )]j(τ
′ )