12. Méthodes semi-classiques
537
dont la solution est
D
′
E (τ )=
1
2ω
e
−ω|τ | + A e
ωτ + B e
−ωτ
12.7.5 Équation de Schrödinger et intégrale de chemin
On se propose de montrer que la fonction K E (x, τ |x 0 ,τ 0 ) définie par
l’intégrale de chemin (12.37) ( =1pour simplifier les équations)
K E (x, τ |x 0 ,τ 0 )=
x(τ )=x
x(τ0)=x0
Dx(τ )exp
−
τ
τ0
1
2
m
dx
dτ
2
+ V (x(τ ))
dτ
obéit à l’équation de Schrödinger en temps euclidien (12.38). On part de
l’équation de Chapman-Kolmogorov (12.28)
K E (x, τ + ε|x 0 ,τ 0 )=
dx
′ K E (x, τ + ε|x
′ ,τ)K E (x
′ ,τ|x 0 ,τ 0 )
où K E (x, τ + ε|x
′ ,τ) est donné pour ε → 0 par
K E (x, τ + ε|x
′ ,τ)=
m
2πε
1/2
exp
−
m
2ε
(x − x
′ )
2 − εV (x)
On posera u = x
′ − x. Montrer que l’intégrale sur u (ou x
′ ) est dominée par la
région u
2 < ∼ ε. Montrer que l’on doit développer l’intégrand jusqu’à l’ordre ε
2
inclus et que l’on peut remplacer exp[−εV (x + u)] par 1 − εV (x). En déduire
K E (x, τ + ε|x 0 ,τ 0 )=
1 − εV (x)+
ε
2m
∂
2
∂x 2
K E (x, τ |x 0 ,τ 0 )
et écrire l’équation aux dérivées partielles vérifiée par K E .
12.7.6 Calcul de la fonctionnelles génératrice pour
l’oscillateur harmonique
On se propose de démontrer l’équation (12.63). Afin de simplifier les formules, on posera = m =1. On montrera dans un premier temps la version
euclidienne de (12.63). Il suffira ensuite d’effectuer un prolongement analytique. L’expression à évaluer est
Z([j]; x b ,τ b ; x a ,τ a )=
x(τ b )=x b
x(τa)=xa
Dx(τ )exp
−
τ b
τa
dτ
1
2
˙
x
2 +
1
2
ω
2 x
2 −j(τ )x(τ )
=
x(τ b )=x b
x(τa)=xa
Dx(τ )exp[−S E (x b ,τ b ; x a τ a ; j)]
où S E est l’action euclidienne nous allons écrire la trajectoire x(τ ) sous la
forme
x(τ )=y(τ )+h(τ )