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Physique quantique : Exercices et applications
On définit la fonction de corrélation connexe x(τ )x(τ
′ ) c par analogie avec
la question 2 et la longueur de corrrélation ξ par
x(τ )x(τ
′ ) c ∝ e
−|τ −τ
′
|/ξ
lorsque |τ − τ
′ |→∞ . Montrer que la longueur de corrrélation ξ est reliée à
l’énergie E 1 (≡ E 1 − E 0 ) du premier état excité.
12.7.3 Fonctionnelle génératrice
Prendre la première, puis la seconde dérivée fonctionnelle de (12.55)
δ
δj(t)
δ
2
δj(t)δj(t ′ )
et vérifier (12.56).
12.7.4 Propagateur de Feynman et propagateur
euclidien
1. Vérifier qu’une solution particulière de (12.62) est
D F (t)=
1
2ω
θ(t) e
−iωt + θ(−t) e
iωt
Cette solution particulière est appelée propagateur de Feynman.L as o l u t i o n
générale de (12.62) s’obtient en ajoutant la solution générale (dépendant de
deux constantes arbitraires) de l’équation homogène associée à (12.62).
2. La transformée de Fourier de (12.62) s’écrit
(k
2
0 − ω
2 )D(k 0 )=i
soit
D(k 0 )=i
+∞
−∞
dk 0
2π
e
−ik0t
k 2
0 − ω 2
L’ambiguïté de la fonction de Green se reflète dans l’apparition de pôles à
k 0 = ±ω, ce qui fait que l’intégrale n’est pas définie. Montrer que si l’on traite
les pôles en utilisant la prescription ω
2 → ω
2 − iη, η → 0
+ , alors on trouve
que le propagateur D F (t) de la question 1 est précisément
D F (t)=i
+∞
−∞
dk 0
2π
e
−ik0t
k 2
0 − ω 2 + iη
3. Montrer que si l’on passe au problème euclidien, alors la fonction de Green
D
′
E (τ ) est donnée par
−
d
2
dτ 2 + ω
2
D
′
E (τ )=δ(τ )