12. Méthodes semi-classiques
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et montrer
e
A+B −
e
A/n e
B/n
n
= O
1
n
12.7.2 Longueur de corrélation et niveau excité
1. Introduisons par analogie avec (12.50) la fonction (τ>τ
′ )
F (x b ,τ b ; τ, τ
′ ; x a ,τ a )=x b |e
−H(τ b −τ )/ X e
−H(τ −τ
′ )/ X e
H(τa−τ
′ )/ |x a
= x b |e
−Hτ b / X H (τ )X H (τ
′ )e
Hτa/ |x a
où X H (τ ) est défini par (12.42). En introduisant une double somme sur les
états propres |n de H, H|n = E n |n,m o n t r e rq u e
lim
τa→−∞
lim
τ b →+∞
F = ϕ 0 (x b )ϕ
∗
0 (x a )0|X e
−H(τ −τ
′ )/ X|0
où |0 est l’état fondamental de H, H|0 =0,o nac h o i s iE 0 =0et ϕ 0 (x) est
la fonction d’onde de cet état fondamental.
2. En s’inspirant du § 12.2.3, montrer que la valeur moyenne dans l’état
fondamental du produit ordonné dans le temps (euclidien) de X H (τ ) et X H (τ
′ )
est
0|T (X H (τ )X H (τ
′ ))|0 = lim
τa→−∞
lim
τ b →+∞
F (x b ,τ b ; τ, τ
′ ; x a ,τ a )
F (x b ,τ b |x a ,τ a )
Écrire ce résultat sous la forme d’une intégrale de chemin. Soit
0|T (X H (τ )X H (τ
′ ))|0 c
la partie connexe de la valeur moyenne
0|T (X H (τ )X H (τ
′ ))|0 c = 0|T (X H (τ )X H (τ
′ ))|0−−0|X H (τ )|00|X H (τ
′ )|0
Montrer que
0|T (X H (τ )X H (τ
′ ))|0 c =
n =0
||0|X|n|
2 e
−En|τ −τ
′
|/
Quel est le terme dominant quand |τ − τ
′ |→∞?
3. Considérons maintenant x(τ ) comme un champ aléatoire classique,o ù
τ varie de −∞ à +∞. Par définition, la fonction de corrélation x(τ )x(τ
′ )
est donnée par
x(τ )x(τ
′ ) =
1
Z
Dx(τ ) x(τ )x(τ
′ )exp
−
1
+∞
−∞
1
2
m
dx
dτ
2
+V [x(τ )]
dτ
Z =
Dx(τ )exp
−
1
+∞
−∞
1
2
m
dx
dτ
2
+ V [x(τ )]
dτ