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Physique quantique : Exercices et applications
soléno ¨ ıde
z
R
Fig. 12.9 – Phase de Berry et effet A-B : rotation d’une particule chargée autour
d’un solénoïde très fin.
phase géométrique. Comme nous l’avons vu sur l’exemple du spin 1/2, la phase
géométrique peut être interprétée comme l’analogue du transport parallèle
d’un vecteur en géométrie différentielle. Ici le vecteur transporté parallèlement
est le vecteur d’état ; le potentiel vecteur joue le rôle de la connexion et le
champ celui de la courbure (voir par exemple Le Bellac [1988], chapitre 13).
L’intégrale de contour de la connexion (potentiel vecteur) donne le flux du
champ magnétique (courbure).
12.7 Exercices
12.7.1 Formule de Trotter
1. En effectuant un développement de Taylor à l’ordre ε
2 inclus, montrer
que
e
(ε/2)A e
εB e
(ε/2)A = e
ε(A+B) + O(ε
3 )
2. Soit A et B, deux opérateurs bornés. On se propose de montrer la
f o r m u l ed eT r o t t e r
e
A+B = lim
n→∞
e
A/n e
B/n
n
Suggestions : montrer d’abord l’identité
C
n − D
n =(C − D)D
n−1 + C(C − D)D
n−2 + ···+ C
n−1 (C − D)
et en déduire pour deux opérateurs bornés C et D
C
n − D
n ≤n(cste)
n C − D
Pour terminer, faire l’identification
C → e
(A+B)/n
D → e
A/n e
B/n