12. Méthodes semi-classiques
533
fermé C dans l’espace des paramètres. En premier lieu, nous pouvons récrire
(12.158) sous la forme
˙
γ m (t)=iϕ m (R(t))|∇ R ϕ m (R(t))· ˙
R(t)=A m (t) ·
dR
dt
(12.160)
où ∇ R est le gradient dans l’espace des paramètres et (12.160) définit le vecteur A m . Pour fixer les idées, on peut prendre le cas particulier où R(t) est
un vecteur
R(t) de R
3 : le gradient est alors le gradient ordinaire
∇.S iR(t)
décrit un contour fermé C, R(T )=R(0), la variation de la phase sera
γ m (T ) − γ m (0) =
C
˙
γ m (t)dt = i
C
ϕ m (R)|∇ R ϕ m (R)·dR
(12.161)
Cette phase est la phase géométrique, ou phase de Berry : elle dépend seulement du contour C, c’est-à-dire du chemin suivi dans l’espace des paramètres,
et non de la vitesse à laquelle il est parcouru. Elle est aussi indépendante du
choix de phase fait pour |ϕ m . Pour le voir, limitons-nous au cas où R est un
vecteur
R de R
3 ; d’après le théorème de Stokes
18 ,a v e c∇ R =
∇
C
ϕ m (
R)|
∇ϕ m (
R)·d
R =
S(C)
∇××ϕ m (
R)|
∇ϕ m (
R)
· d
S
=
S(C)
(
∇×
A m ) · d
S
(12.162)
où S(C) est une surface s’appuyant sur le contour C. Si l’on effectue un
changement de phase sur |ϕ m (
R)
|ϕ m (
R)→e
iχ(
R) |ϕ m (
R)
alors
ϕ m |
∇ϕ m →→ϕ m |
∇ϕ m + i∇χ
Comme ∇×(
∇χ)=0 , la phase χ ne contribue pas au résultat (12.161).
L’exercice 12.7.11 montre comment retrouver le résultat particulier (12.141)
à partir du cas général (12.161).
Il existe une relation remarquable entre la phase de Berry et celle de l’effet
A-B. Considérons la situation où une particule chargée de charge q est confinée
dans une boîte centrée en
R, qui ne rencontre pas le solénoïde (figure 12.9).
On montre alors (exercice 12.7.12) que si l’on fait faire à la boîte de façon
adiabatique un tour complet autour du solénoïde, la fonction d’onde acquiert
une phase −qΦ/,o ùΦ est le flux du champ magnétique à travers le circuit
effectué par la boîte. La phase de l’effet A-B est donc retrouvée comme une
18. Dans le cas général, on utilise la version du théorème de Stokes montrée en géométrie
différentielle. Le gradient est remplacé par une 1-forme, le rotationnel par la différentielle
extérieure, et la phase s’écrit comme le flux d’une 2-forme.
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fermé C dans l’espace des paramètres. En premier lieu, nous pouvons récrire
(12.158) sous la forme
˙
γ m (t)=iϕ m (R(t))|∇ R ϕ m (R(t))· ˙
R(t)=A m (t) ·
dR
dt
(12.160)
où ∇ R est le gradient dans l’espace des paramètres et (12.160) définit le vecteur A m . Pour fixer les idées, on peut prendre le cas particulier où R(t) est
un vecteur
R(t) de R
3 : le gradient est alors le gradient ordinaire
∇.S iR(t)
décrit un contour fermé C, R(T )=R(0), la variation de la phase sera
γ m (T ) − γ m (0) =
C
˙
γ m (t)dt = i
C
ϕ m (R)|∇ R ϕ m (R)·dR
(12.161)
Cette phase est la phase géométrique, ou phase de Berry : elle dépend seulement du contour C, c’est-à-dire du chemin suivi dans l’espace des paramètres,
et non de la vitesse à laquelle il est parcouru. Elle est aussi indépendante du
choix de phase fait pour |ϕ m . Pour le voir, limitons-nous au cas où R est un
vecteur
R de R
3 ; d’après le théorème de Stokes
18 ,a v e c∇ R =
∇
C
ϕ m (
R)|
∇ϕ m (
R)·d
R =
S(C)
∇××ϕ m (
R)|
∇ϕ m (
R)
· d
S
=
S(C)
(
∇×
A m ) · d
S
(12.162)
où S(C) est une surface s’appuyant sur le contour C. Si l’on effectue un
changement de phase sur |ϕ m (
R)
|ϕ m (
R)→e
iχ(
R) |ϕ m (
R)
alors
ϕ m |
∇ϕ m →→ϕ m |
∇ϕ m + i∇χ
Comme ∇×(
∇χ)=0 , la phase χ ne contribue pas au résultat (12.161).
L’exercice 12.7.11 montre comment retrouver le résultat particulier (12.141)
à partir du cas général (12.161).
Il existe une relation remarquable entre la phase de Berry et celle de l’effet
A-B. Considérons la situation où une particule chargée de charge q est confinée
dans une boîte centrée en
R, qui ne rencontre pas le solénoïde (figure 12.9).
On montre alors (exercice 12.7.12) que si l’on fait faire à la boîte de façon
adiabatique un tour complet autour du solénoïde, la fonction d’onde acquiert
une phase −qΦ/,o ùΦ est le flux du champ magnétique à travers le circuit
effectué par la boîte. La phase de l’effet A-B est donc retrouvée comme une
18. Dans le cas général, on utilise la version du théorème de Stokes montrée en géométrie
différentielle. Le gradient est remplacé par une 1-forme, le rotationnel par la différentielle
extérieure, et la phase s’écrit comme le flux d’une 2-forme.