532
Physique quantique : Exercices et applications
λ km (t) est une quantité caractéristique de la “vitesse de rotation” des vecteurs
propres de H(t) dans l’espace de Hilbert : c’est la composante suivant |ϕ k (t)
de la vitesse du vecteur |ϕ m (t). Cette vitesse est de l’ordre de ˙
R/R et nous
en déduisons l’estimation
p m→k (t) ∼
˙
R
R
2
1
ω 2
km
(12.155)
12.6.3 La phase géométrique
Si l’approximation adiabatique est valable, l’équation (12.148) se réduit à
une équation différentielle pour c m (t)
˙
c m (t)=−c m (t) ϕ m | ˙
ϕ m
(12.156)
Il est facile de montrer que ϕ m | ˙
ϕ m est un nombre imaginaire pur : en effet,
de ϕ m |ϕ m =1on tire
0= ˙
ϕ m |ϕ m + ϕ m | ˙
ϕ m = ϕ m | ˙
ϕ m
∗ + ϕ m | ˙
ϕ m
(12.157)
et on peut poser, avec ˙
γ m (t) réel
˙
γ m (t)=iϕ m (R(t))| ˙
ϕ m (R(t)) = −Im ϕ m (R(t))| ˙
ϕ m (R(t))
(12.158)
où nous avons fait intervenir de façon explicite les paramètres R(t) ; γ m (t) est
à l’origine de la phase de Berry
16 , et nous allons montrer que cette phase ne
peut pas être éliminée par une redéfinition |ϕ m →exp(iχ)|ϕ m du vecteur
d’état.
17 . Le vecteur d’état au temps t s’écrit alors
e
iγm(t) e
−iαm(t) |ϕ m (R(t))
(12.159)
À première vue, cette équation est surprenante, car la phase de |ϕ m (R(t))
est a priori arbitraire, et en extraire le facteur exp(iγ m (t) ne semble pas physiquement pertinent. Cependant, nous allons voir que cette phase donne lieu
à des effets physiques si on fait varier les paramètres le long d’un contour
16. Cette phase n’est pas prise en compte par Messiah [1959] : en effet l’équation
XVII(113’) de cette référence implique ϕm| ˙
ϕm =0, voir l’exercice 12.7.10.
17. Dans le cas particulier étudié au § 12.6.1, on déduit immédiatement de (12.136)
ψ − | ˙
ψ − = −
iω
2
(1 + cos θ)
et plus généralement, pour φ(t) quelconque
ψ − | ˙
ψ − =
i ˙
φ
2
(1 + cos θ)
ce qui redonne bien (12.140).
Physique quantique : Exercices et applications
λ km (t) est une quantité caractéristique de la “vitesse de rotation” des vecteurs
propres de H(t) dans l’espace de Hilbert : c’est la composante suivant |ϕ k (t)
de la vitesse du vecteur |ϕ m (t). Cette vitesse est de l’ordre de ˙
R/R et nous
en déduisons l’estimation
p m→k (t) ∼
˙
R
R
2
1
ω 2
km
(12.155)
12.6.3 La phase géométrique
Si l’approximation adiabatique est valable, l’équation (12.148) se réduit à
une équation différentielle pour c m (t)
˙
c m (t)=−c m (t) ϕ m | ˙
ϕ m
(12.156)
Il est facile de montrer que ϕ m | ˙
ϕ m est un nombre imaginaire pur : en effet,
de ϕ m |ϕ m =1on tire
0= ˙
ϕ m |ϕ m + ϕ m | ˙
ϕ m = ϕ m | ˙
ϕ m
∗ + ϕ m | ˙
ϕ m
(12.157)
et on peut poser, avec ˙
γ m (t) réel
˙
γ m (t)=iϕ m (R(t))| ˙
ϕ m (R(t)) = −Im ϕ m (R(t))| ˙
ϕ m (R(t))
(12.158)
où nous avons fait intervenir de façon explicite les paramètres R(t) ; γ m (t) est
à l’origine de la phase de Berry
16 , et nous allons montrer que cette phase ne
peut pas être éliminée par une redéfinition |ϕ m →exp(iχ)|ϕ m du vecteur
d’état.
17 . Le vecteur d’état au temps t s’écrit alors
e
iγm(t) e
−iαm(t) |ϕ m (R(t))
(12.159)
À première vue, cette équation est surprenante, car la phase de |ϕ m (R(t))
est a priori arbitraire, et en extraire le facteur exp(iγ m (t) ne semble pas physiquement pertinent. Cependant, nous allons voir que cette phase donne lieu
à des effets physiques si on fait varier les paramètres le long d’un contour
16. Cette phase n’est pas prise en compte par Messiah [1959] : en effet l’équation
XVII(113’) de cette référence implique ϕm| ˙
ϕm =0, voir l’exercice 12.7.10.
17. Dans le cas particulier étudié au § 12.6.1, on déduit immédiatement de (12.136)
ψ − | ˙
ψ − = −
iω
2
(1 + cos θ)
et plus généralement, pour φ(t) quelconque
ψ − | ˙
ψ − =
i ˙
φ
2
(1 + cos θ)
ce qui redonne bien (12.140).