12. Méthodes semi-classiques
531
soit
ϕ k | ˙
ϕ n (E n − E k )=ϕ k | ˙
H|ϕ n
pour en déduire un résultat exact donnant ˙
c k sous la forme
˙
c k = −c k ϕ k | ˙
ϕ k +
n
=k
c n exp[−i(α n − α k )]
ϕ k | ˙
H|ϕ n
E k − E n
(12.149)
Nous supposons maintenant que le système est au temps t =0dans l’état
|ϕ m (t =0 ) . Si l’approximation adiabatique est valable, nous devons avoir
|c m (t)|≃1 et |c n (t)|≪1 pour n = m. De (12.149), on déduit alors (k = m)
˙
c k =
c m (t)
exp[−i(α m (t) − α k (t)]
ϕ k (t)| ˙
H(t)|ϕ m (t)
ω km (t)
(12.150)
Afin d’étudier la limite à grand temps de c k (t), nous posons t = sT , 0 ≤ s ≤ 1,
ce qui permet de transformer (12.150) en
d
ds
c k (s)=F (s)exp
iT
s
0
ds
′ ω km (s
′ )
= F (s)exp
iT Ω km (s)
(12.151)
où
F (s)=
c m (s)
ϕ k | ˙
H(s)|ϕ n
ω km (s)
Ω km (s)=
s
0
ds
′ ω km (s
′ )
Intégrons l’équation différentielle (12.151) avec la condition initiale c k (0) = 0,
k = m
c k (s)=
s
0
ds
′ F (s
′ )e x p
iT Ω km (s
′ )
(12.152)
Compte tenu de la condition de non croisement des niveaux, Ω km (s) est une
fonction monotone de s et la phase dans (12.152) n’est jamais stationnaire.
Comme F (s) est une fonction continue, l’intégrale tend vers zéro pour T →∞.
Pour le voir explicitement, intégrons (12.152) par parties
c k (s)=
1
iT
F (s
′ )
ω km (s ′ )
s
0
−
s
0
exp
iT Ω km (s
′ )
d
ds ′
F (s
′ )
ω km (s ′ )
Comme d[F (s)/ω km (s)] est une fonction continue de s, le terme en facteur de
1/iT reste fini pour T →∞et c k (s) tend vers zéro comme 1/T .
Pour évaluer les corrections à l’approximation adiabatique, on calcule
perturbativement la probabilité pour que le système passe de l’état initial
|ϕ m àu na u t r eé t a t|ϕ k . La probabilité de transition est donnée par (exercice 12.7.10)
p m→k (t)=
t
0
λ km (t
′ ) e
iΩ km (t
′ ) dt
′
2
(12.153)
où
λ km (t)=ϕ k (t)| ˙
ϕ m (t)
(12.154)
531
soit
ϕ k | ˙
ϕ n (E n − E k )=ϕ k | ˙
H|ϕ n
pour en déduire un résultat exact donnant ˙
c k sous la forme
˙
c k = −c k ϕ k | ˙
ϕ k +
n
=k
c n exp[−i(α n − α k )]
ϕ k | ˙
H|ϕ n
E k − E n
(12.149)
Nous supposons maintenant que le système est au temps t =0dans l’état
|ϕ m (t =0 ) . Si l’approximation adiabatique est valable, nous devons avoir
|c m (t)|≃1 et |c n (t)|≪1 pour n = m. De (12.149), on déduit alors (k = m)
˙
c k =
c m (t)
exp[−i(α m (t) − α k (t)]
ϕ k (t)| ˙
H(t)|ϕ m (t)
ω km (t)
(12.150)
Afin d’étudier la limite à grand temps de c k (t), nous posons t = sT , 0 ≤ s ≤ 1,
ce qui permet de transformer (12.150) en
d
ds
c k (s)=F (s)exp
iT
s
0
ds
′ ω km (s
′ )
= F (s)exp
iT Ω km (s)
(12.151)
où
F (s)=
c m (s)
ϕ k | ˙
H(s)|ϕ n
ω km (s)
Ω km (s)=
s
0
ds
′ ω km (s
′ )
Intégrons l’équation différentielle (12.151) avec la condition initiale c k (0) = 0,
k = m
c k (s)=
s
0
ds
′ F (s
′ )e x p
iT Ω km (s
′ )
(12.152)
Compte tenu de la condition de non croisement des niveaux, Ω km (s) est une
fonction monotone de s et la phase dans (12.152) n’est jamais stationnaire.
Comme F (s) est une fonction continue, l’intégrale tend vers zéro pour T →∞.
Pour le voir explicitement, intégrons (12.152) par parties
c k (s)=
1
iT
F (s
′ )
ω km (s ′ )
s
0
−
s
0
exp
iT Ω km (s
′ )
d
ds ′
F (s
′ )
ω km (s ′ )
Comme d[F (s)/ω km (s)] est une fonction continue de s, le terme en facteur de
1/iT reste fini pour T →∞et c k (s) tend vers zéro comme 1/T .
Pour évaluer les corrections à l’approximation adiabatique, on calcule
perturbativement la probabilité pour que le système passe de l’état initial
|ϕ m àu na u t r eé t a t|ϕ k . La probabilité de transition est donnée par (exercice 12.7.10)
p m→k (t)=
t
0
λ km (t
′ ) e
iΩ km (t
′ ) dt
′
2
(12.153)
où
λ km (t)=ϕ k (t)| ˙
ϕ m (t)
(12.154)