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Physique quantique : Exercices et applications
alors, il se trouve au temps t dans l’état |ϕ m (t) vecteur propre instantané de
H(t)
H(t)|ϕ m (t) = E m (t)|ϕ m (t)
(12.143)
qui se déduit continûment de |ϕ m (t =0). Afin de simplifier la démonstration,
nous supposons que le spectre de H(t) est discret et non dégénéré, de sorte
que l’ensemble {|ϕ m (t)} forme une base de l’espace de Hilbert des états,
et qu’il n’y a aucun croisement de niveaux quand t varie
15 . Les fréquences
caractéristiques sont les fréquences de Bohr ω km (t)=[ E k (t) − E m (t)]/,e t
ces fréquences ne sont jamais nulles d’après nos hypothèses : elles sont toutes
plus grandes que ω min . Si le temps caractéristique d’évolution de R(t) est t car ,
nous verrons que la condition de validité du théorème adiabatique est
t
−1
car ∼
˙
R
R
≪ ω min
(12.144)
Dans le § 12.6.1, ˙
R/R = ω et ω min = ω.L e ss o l u t i o n s|ϕ(t) de l’équation de
Schrödinger dépendant du temps (8.55) vérifient
i
d
dt
|ϕ(t) = H(t)|ϕ(t)
(12.145)
et nous pouvons décomposer |ϕ(t) dans la base {|ϕ n (t)}
|ϕ(t) =
n
c n (t)e x p [ −iα n (t)] |ϕ n (t)
(12.146)
Le facteur de phase exp[−iα n (t)] est appelé facteur de phase dynamique : il généralise le facteur exp[−iE n t/] du cas indépendant du temps et exp(−iωt/2)
du § 12.6.1
α n (t)=
1
t
0
E n (t
′ ) dt
′
(12.147)
La substitution de (12.146)–(12.147) dans l’équation de Schrödinger (12.145),
jointe à (12.143), conduit à
n
˙
c n exp[−iα n ] |ϕ n (t) + c n exp[−iα n ] | ˙
ϕ n (t)
=0
Multiplions cette équation à gauche par le bra ϕ k (t)| ;c o m p t et e n ud e
ϕ k (t)|ϕ n (t) = δ nk , nous obtenons
˙
c k = −
n
c n exp[−i(α n − α k )] ϕ k | ˙
ϕ n
(12.148)
Utilisons ensuite la dérivée par rapport au temps de (12.143)
˙
H|ϕ n + H| ˙
ϕ n = ˙
E n |ϕ n + E n | ˙
ϕ n
15. Voir Messiah [1959], chapitre XVII, pour une discussion générale des conditions de
validité du théorème adiabatique.
Physique quantique : Exercices et applications
alors, il se trouve au temps t dans l’état |ϕ m (t) vecteur propre instantané de
H(t)
H(t)|ϕ m (t) = E m (t)|ϕ m (t)
(12.143)
qui se déduit continûment de |ϕ m (t =0). Afin de simplifier la démonstration,
nous supposons que le spectre de H(t) est discret et non dégénéré, de sorte
que l’ensemble {|ϕ m (t)} forme une base de l’espace de Hilbert des états,
et qu’il n’y a aucun croisement de niveaux quand t varie
15 . Les fréquences
caractéristiques sont les fréquences de Bohr ω km (t)=[ E k (t) − E m (t)]/,e t
ces fréquences ne sont jamais nulles d’après nos hypothèses : elles sont toutes
plus grandes que ω min . Si le temps caractéristique d’évolution de R(t) est t car ,
nous verrons que la condition de validité du théorème adiabatique est
t
−1
car ∼
˙
R
R
≪ ω min
(12.144)
Dans le § 12.6.1, ˙
R/R = ω et ω min = ω.L e ss o l u t i o n s|ϕ(t) de l’équation de
Schrödinger dépendant du temps (8.55) vérifient
i
d
dt
|ϕ(t) = H(t)|ϕ(t)
(12.145)
et nous pouvons décomposer |ϕ(t) dans la base {|ϕ n (t)}
|ϕ(t) =
n
c n (t)e x p [ −iα n (t)] |ϕ n (t)
(12.146)
Le facteur de phase exp[−iα n (t)] est appelé facteur de phase dynamique : il généralise le facteur exp[−iE n t/] du cas indépendant du temps et exp(−iωt/2)
du § 12.6.1
α n (t)=
1
t
0
E n (t
′ ) dt
′
(12.147)
La substitution de (12.146)–(12.147) dans l’équation de Schrödinger (12.145),
jointe à (12.143), conduit à
n
˙
c n exp[−iα n ] |ϕ n (t) + c n exp[−iα n ] | ˙
ϕ n (t)
=0
Multiplions cette équation à gauche par le bra ϕ k (t)| ;c o m p t et e n ud e
ϕ k (t)|ϕ n (t) = δ nk , nous obtenons
˙
c k = −
n
c n exp[−i(α n − α k )] ϕ k | ˙
ϕ n
(12.148)
Utilisons ensuite la dérivée par rapport au temps de (12.143)
˙
H|ϕ n + H| ˙
ϕ n = ˙
E n |ϕ n + E n | ˙
ϕ n
15. Voir Messiah [1959], chapitre XVII, pour une discussion générale des conditions de
validité du théorème adiabatique.