12. Méthodes semi-classiques
529
Dans ces conditions,
|ψ(t)≃e
−iΩt/2 e
iωt/2 |ψ − (t) = e
−iωt/2 e
iω(1+cos θ)t/2 |ψ − (t)
(12.139)
Le facteur exp(−iωt/2) est un facteur trivial qui correspond tout simplement
à l’évolution temporelle régie par la valeur E − = ω/2 de l’énergie de |ψ − ,
et le second facteur de phase est exp[i γ(t)],a v e c
γ(t)=
ωt
2
(1 + cos θ)
(12.140)
Après un tour complet, t =2π/ω, ce facteur de phase est exp(iγ),o ùγ est la
phase de Berry
γ = π(1 + cos θ)
(12.141)
Le point remarquable est que la phase γ ne dépend pas de ω,p o u r v uq u el a
condition de validité de l’approximation adiabatique, ω/Ω ≪ 1, soit satisfaite.
Pour cette raison, la phase de Berry est aussi appelée phase géométrique. On
peut généraliser ce résultat et montrer que (12.141) reste valable même si ω
dépend du temps, pourvu que ˙
ω/ω
2 ≪ 1, c’est-à-dire si ω(t) ne varie pas trop
vite. Cependant, on ne peut plus écrire dans ce cas de solution exacte, car
le hamiltonien ˆ
H (12.132) dépend alors du temps par l’intermédiaire de δ(t).
Une autre observation est que γ dans (12.141) est le demi-angle solide sous
lequel est vu le circuit tracé par l’extrémité de
B : voir l’exercice 12.7.11.
Aharonov et Anandan (Anandan [1992]) ont donné une interprétation intrinsèque de cet effet : au lieu de relier la phase de Berry au fait que le spin
suit adiabatiquement le champ, ils interprètent cette phase comme provenant
du transport parallèle du vecteur d’état de spin le long d’un trajet tracé sur
la sphère de Poincaré-Bloch, c’est-à-dire dans l’espace de Hilbert projectif du
spin. Ce transport parallèle définit une connexion, et la phase de Berry est
reliée à l’intégrale de cette connexion le long du trajet fermé (contour) suivi
par l’extrémité du vecteur de Bloch. Cette intégrale est donnée par la moitié
de l’aire sur la sphère limitée par le contour, ou, ce qui revient au même, par
la moitié de l’angle solide d’où le contour est vu depuis l’origine. Dans cette
interpétation, il n’est pas nécessaire de faire appel à l’adiabadicité.
12.6.2 Théorème adiabatique
Nous allons généraliser les résultats de la sous-section précédente en montrant d’abord le théorème adiabatique. Soit un hamiltonien dépendant du
temps H(t), ou plus précisément un hamiltonien fonction de paramètres R i (t)
dépendant du temps, notés collectivement R(t). Nous allons montrer que si
l’évolution temporelle de R(t) est suffisamment lente, et si le système est initialement dans l’état propre |ϕ m (t =0) de H(t =0)
H(t =0)|ϕ m (t =0) = E m (t =0)|ϕ m (t =0)
(12.142)
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Dans ces conditions,
|ψ(t)≃e
−iΩt/2 e
iωt/2 |ψ − (t) = e
−iωt/2 e
iω(1+cos θ)t/2 |ψ − (t)
(12.139)
Le facteur exp(−iωt/2) est un facteur trivial qui correspond tout simplement
à l’évolution temporelle régie par la valeur E − = ω/2 de l’énergie de |ψ − ,
et le second facteur de phase est exp[i γ(t)],a v e c
γ(t)=
ωt
2
(1 + cos θ)
(12.140)
Après un tour complet, t =2π/ω, ce facteur de phase est exp(iγ),o ùγ est la
phase de Berry
γ = π(1 + cos θ)
(12.141)
Le point remarquable est que la phase γ ne dépend pas de ω,p o u r v uq u el a
condition de validité de l’approximation adiabatique, ω/Ω ≪ 1, soit satisfaite.
Pour cette raison, la phase de Berry est aussi appelée phase géométrique. On
peut généraliser ce résultat et montrer que (12.141) reste valable même si ω
dépend du temps, pourvu que ˙
ω/ω
2 ≪ 1, c’est-à-dire si ω(t) ne varie pas trop
vite. Cependant, on ne peut plus écrire dans ce cas de solution exacte, car
le hamiltonien ˆ
H (12.132) dépend alors du temps par l’intermédiaire de δ(t).
Une autre observation est que γ dans (12.141) est le demi-angle solide sous
lequel est vu le circuit tracé par l’extrémité de
B : voir l’exercice 12.7.11.
Aharonov et Anandan (Anandan [1992]) ont donné une interprétation intrinsèque de cet effet : au lieu de relier la phase de Berry au fait que le spin
suit adiabatiquement le champ, ils interprètent cette phase comme provenant
du transport parallèle du vecteur d’état de spin le long d’un trajet tracé sur
la sphère de Poincaré-Bloch, c’est-à-dire dans l’espace de Hilbert projectif du
spin. Ce transport parallèle définit une connexion, et la phase de Berry est
reliée à l’intégrale de cette connexion le long du trajet fermé (contour) suivi
par l’extrémité du vecteur de Bloch. Cette intégrale est donnée par la moitié
de l’aire sur la sphère limitée par le contour, ou, ce qui revient au même, par
la moitié de l’angle solide d’où le contour est vu depuis l’origine. Dans cette
interpétation, il n’est pas nécessaire de faire appel à l’adiabadicité.
12.6.2 Théorème adiabatique
Nous allons généraliser les résultats de la sous-section précédente en montrant d’abord le théorème adiabatique. Soit un hamiltonien dépendant du
temps H(t), ou plus précisément un hamiltonien fonction de paramètres R i (t)
dépendant du temps, notés collectivement R(t). Nous allons montrer que si
l’évolution temporelle de R(t) est suffisamment lente, et si le système est initialement dans l’état propre |ϕ m (t =0) de H(t =0)
H(t =0)|ϕ m (t =0) = E m (t =0)|ϕ m (t =0)
(12.142)