528
Physique quantique : Exercices et applications
L’angle polaire θ vérifie donc
ω 0 = ω cos θω 1 = ω sin θ
(12.135)
À un instant donné, les vecteurs propres du hamiltonien H(t) sont ceux (3.56)
de σ · ˆ
n(t), et ils dépendent donc de φ(t)
|ψ + (φ(t)) =
cos
θ
2
sin
θ
2 e iφ(t)
|ψ − (φ(t)) =
sin
θ
2
− cos
θ
2 e iφ(t)
(12.136)
Les vecteurs propres |ψ ± (φ(t))≡| ψ ± (t) correspondent aux valeurs propres
de l’énergie E ± (φ(t)) = ∓ω/2 d’un spin 1/2 dans un champ magnétique
B orienté suivant la direction ˆ
n et tel que γB = ω. Ces valeurs propres
sont indépendantes du temps (mais pas les vecteurs propres correspondants !).
Supposons qu’au temps t =0, le spin soit dans l’état |ψ − : |ψ(0) = |ψ − (0).
On obtient |ψ(t) dans la base |±± des états propres de σ z en combinant (5.42)
et (12.133). Exprimant |±± en fonction de |ψ ± (t)
|+ =cos
θ
2
|ψ + (t) +sin
θ
2
|ψ − (t)
|−− =sin
θ
2
e
−iφ(t) |ψ + (t)−cos
θ
2
e
−iφ(t) |ψ − (t)
(12.137)
on écrit |ψ(t) en fonction de |ψ ± (t) grâce à (5.42)
e
iφ(t)/2 |ψ(t) = −i
ω
Ω
sin
Ωt
2
sin θ |ψ + (t)
+
cos
Ωt
2
+
i
Ω
(ω cos θ − ω)sin
Ωt
2
|ψ − (t)
(12.138)
avec Ω=
ω 2
1 + δ 2 .L o r s q u eω/Ω ∼ 1, le spin oscille
14 entre les états |ψ + (t)
et |ψ − (t), mais lorsque ω/Ω ≪ 1, la probabilité de le trouver dans l’état
|ψ + (t) est ∝ (ω/Ω)
2 . Ceci donne un exemple du théorème adiabatique,e x a -
miné dans la sous-section suivante : si le hamiltonien varie lentement en fonction du temps, le spin reste dans l’état propre instantané |ψ − (t) de H(t).
En d’autres termes, le spin suit adiabatiquement le mouvement du champ
B : le vecteur de Bloch reste orienté en permanence dans la direction −ˆ n
antiparallèle à
B.
E x a m i n o n sd ep l u sp r è sl ec a si n t é r e s s a n tω ≪ Ω, qui corrrespond à une
précession de Larmor très rapide par rapport au temps caractéristique d’évolution de
B, en écrivant
Ω=
ω 2
1 + δ 2 =
ω
2 + ω 2 − 2ωω cos θ ≃ ω − ω cos θ
14. Il faut éviter toute confusion avec la situation de la section 5.2 : dans cette section,
nous nous intéressions aux oscillations (de Rabi) entre les états |+ et |−−,a l o r sq u en o u s
étudions ici les oscillations entre les états |ψ + (t) et |ψ − (t).
Physique quantique : Exercices et applications
L’angle polaire θ vérifie donc
ω 0 = ω cos θω 1 = ω sin θ
(12.135)
À un instant donné, les vecteurs propres du hamiltonien H(t) sont ceux (3.56)
de σ · ˆ
n(t), et ils dépendent donc de φ(t)
|ψ + (φ(t)) =
cos
θ
2
sin
θ
2 e iφ(t)
|ψ − (φ(t)) =
sin
θ
2
− cos
θ
2 e iφ(t)
(12.136)
Les vecteurs propres |ψ ± (φ(t))≡| ψ ± (t) correspondent aux valeurs propres
de l’énergie E ± (φ(t)) = ∓ω/2 d’un spin 1/2 dans un champ magnétique
B orienté suivant la direction ˆ
n et tel que γB = ω. Ces valeurs propres
sont indépendantes du temps (mais pas les vecteurs propres correspondants !).
Supposons qu’au temps t =0, le spin soit dans l’état |ψ − : |ψ(0) = |ψ − (0).
On obtient |ψ(t) dans la base |±± des états propres de σ z en combinant (5.42)
et (12.133). Exprimant |±± en fonction de |ψ ± (t)
|+ =cos
θ
2
|ψ + (t) +sin
θ
2
|ψ − (t)
|−− =sin
θ
2
e
−iφ(t) |ψ + (t)−cos
θ
2
e
−iφ(t) |ψ − (t)
(12.137)
on écrit |ψ(t) en fonction de |ψ ± (t) grâce à (5.42)
e
iφ(t)/2 |ψ(t) = −i
ω
Ω
sin
Ωt
2
sin θ |ψ + (t)
+
cos
Ωt
2
+
i
Ω
(ω cos θ − ω)sin
Ωt
2
|ψ − (t)
(12.138)
avec Ω=
ω 2
1 + δ 2 .L o r s q u eω/Ω ∼ 1, le spin oscille
14 entre les états |ψ + (t)
et |ψ − (t), mais lorsque ω/Ω ≪ 1, la probabilité de le trouver dans l’état
|ψ + (t) est ∝ (ω/Ω)
2 . Ceci donne un exemple du théorème adiabatique,e x a -
miné dans la sous-section suivante : si le hamiltonien varie lentement en fonction du temps, le spin reste dans l’état propre instantané |ψ − (t) de H(t).
En d’autres termes, le spin suit adiabatiquement le mouvement du champ
B : le vecteur de Bloch reste orienté en permanence dans la direction −ˆ n
antiparallèle à
B.
E x a m i n o n sd ep l u sp r è sl ec a si n t é r e s s a n tω ≪ Ω, qui corrrespond à une
précession de Larmor très rapide par rapport au temps caractéristique d’évolution de
B, en écrivant
Ω=
ω 2
1 + δ 2 =
ω
2 + ω 2 − 2ωω cos θ ≃ ω − ω cos θ
14. Il faut éviter toute confusion avec la situation de la section 5.2 : dans cette section,
nous nous intéressions aux oscillations (de Rabi) entre les états |+ et |−−,a l o r sq u en o u s
étudions ici les oscillations entre les états |ψ + (t) et |ψ − (t).