12. Méthodes semi-classiques
527
Le dernier terme est oscillant, et on voit que la distribution w peut devenir
négative. Le terme oscillant subsiste même si a ≫ σ, ce qui montre le caractère
non classique de la distribution. Comme nous le verrons au chapitre 18, ce
terme décroît rapidement en fonction du temps en raison de la décohérence si
la fonction d’onde (12.129) est celle d’une particule mésoscopique interagissant
avec un milieu extérieur.
12.6 Théorème adiabatique et phases
géométriques
12.6.1 Un exemple
Reprenons l’étude du spin 1/2 dans un champ magnétique (section 5.2),
en choisissant la même forme du champ
B = B 0 ˆ
z + B 1 (ˆ x cos ωt − ˆ
y sin ωt)
(12.130)
La fréquence de Larmor est ω 0 = γB 0 , celle de Rabi ω 1 = γB 1 , et le hamiltonien s’écrit
H(t)=−
1
2
ω 0 σ z −
1
2
ω 1 (σ x cos ωt − σ y sin ωt)
(12.131)
Soit |ψ(t), le vecteur d’état du spin dans le référentiel du laboratoire et | ˆ
ψ(t),
le vecteur d’état dans le référentiel tournant (cf. (5.28))
| ˆ
ψ(t) = e
−iωtσz /2 |ψ(t)
Nous avons montré dans la section 5.2 que le hamiltonien ˆ
H qui régit l’évolution dans le référentiel tournant était indépendant du temps (cf. (5.34))
ˆ
H =
1
2
δσ z −
1
2
ω 1 σ x
(12.132)
où δ = ω − ω 0 est le désaccord. L’évolution temporelle de |ψ(t) est donc
|ψ(t) = e
iωtσz /2 e
−i ˆ
Ht/ |ψ(0)
(12.133)
si l’on identifie |ψ(t) et | ˆ
ψ(t) au temps t =0: |ψ(0) = | ˆ
ψ(0).
Àu ni n s t a n tt, le champ magnétique est dirigé suivant une direction ˆ
n(t)
repérée par un angle polaire θ et un angle azimutal qui dépend du temps,
φ(t)=−ωt. La valeur absolue de
B est indépendante de t
γB = γ
B 2
0 + B 2
1 = ω
avec
ω =
ω 2
0 + ω 2
1
(12.134)
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Le dernier terme est oscillant, et on voit que la distribution w peut devenir
négative. Le terme oscillant subsiste même si a ≫ σ, ce qui montre le caractère
non classique de la distribution. Comme nous le verrons au chapitre 18, ce
terme décroît rapidement en fonction du temps en raison de la décohérence si
la fonction d’onde (12.129) est celle d’une particule mésoscopique interagissant
avec un milieu extérieur.
12.6 Théorème adiabatique et phases
géométriques
12.6.1 Un exemple
Reprenons l’étude du spin 1/2 dans un champ magnétique (section 5.2),
en choisissant la même forme du champ
B = B 0 ˆ
z + B 1 (ˆ x cos ωt − ˆ
y sin ωt)
(12.130)
La fréquence de Larmor est ω 0 = γB 0 , celle de Rabi ω 1 = γB 1 , et le hamiltonien s’écrit
H(t)=−
1
2
ω 0 σ z −
1
2
ω 1 (σ x cos ωt − σ y sin ωt)
(12.131)
Soit |ψ(t), le vecteur d’état du spin dans le référentiel du laboratoire et | ˆ
ψ(t),
le vecteur d’état dans le référentiel tournant (cf. (5.28))
| ˆ
ψ(t) = e
−iωtσz /2 |ψ(t)
Nous avons montré dans la section 5.2 que le hamiltonien ˆ
H qui régit l’évolution dans le référentiel tournant était indépendant du temps (cf. (5.34))
ˆ
H =
1
2
δσ z −
1
2
ω 1 σ x
(12.132)
où δ = ω − ω 0 est le désaccord. L’évolution temporelle de |ψ(t) est donc
|ψ(t) = e
iωtσz /2 e
−i ˆ
Ht/ |ψ(0)
(12.133)
si l’on identifie |ψ(t) et | ˆ
ψ(t) au temps t =0: |ψ(0) = | ˆ
ψ(0).
Àu ni n s t a n tt, le champ magnétique est dirigé suivant une direction ˆ
n(t)
repérée par un angle polaire θ et un angle azimutal qui dépend du temps,
φ(t)=−ωt. La valeur absolue de
B est indépendante de t
γB = γ
B 2
0 + B 2
1 = ω
avec
ω =
ω 2
0 + ω 2
1
(12.134)