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Physique quantique : Exercices et applications
Le résultat se simplifie dans le cas de l’oscillateur harmonique
V
x −
y
2
− V
x +
y
2
= −mω
2 xy
et l’on trouve dans ce cas l’équation de Liouville exprimant la conservation
de la probabilité
∂w
∂t
= −
p
m
∂w
∂x
+ mω
2 x
∂w
∂p
(12.123)
12.5.3 Distribution de Wigner pour les états purs
Lorsque ρ représente un état pur ϕ(x, t), la distribution de Wigner est
w pur (x, p; t)=
1
2π
ϕ
x +
y
2
; t
ϕ
∗
x −
y
2
; t
e
−ipy/ dy
(12.124)
et l’inégalité (12.121) se transforme en l’égalité
dxdpw
2
pur (x, p; t)=
1
2π
(12.125)
que l’on montre à partir de Tr ρ
2 =1(exercice 12.7.8).
Donnons enfin deux exemples de distribution de Wigner pour des états
purs. Le premier exemple est celui du paquet d’ondes gaussien
ϕ(x)=
1
πσ 2
1/4
exp
−
x
2
2σ 2
(12.126)
Un calcul classique de transformée de Fourier de gaussienne donne
w(x, p)=
1
π
exp
−
x
2
σ 2
exp
−
p
2 σ
2
2
(12.127)
Dans ce cas, la distribution de Wigner est partout positive, et on peut montrer
que la distribution de Wigner est uniformément positive si et seulement si c’est
celle d’un paquet d’ondes gaussien. Un exemple plus intéressant est celui de
la superposition de deux paquets d’onde gaussiens
ϕ(x) ≃
1
√
2
1
πσ 2
1/4
exp
−
(x − a)
2
2σ 2
+exp
−
(x + a)
2
2σ 2
. (12.128)
avec a ≫ σ,d es ort eq u el ere c ou v re m e n td e sdeux paquets est négligeable, et
le facteur 1/
√
2 assure la normalisation approchée de la fonction d’onde. On
trouve pour la distribution de Wigner
w(x, p)=
1
2
√
2π
exp
−
p
2 σ
2
2
exp
−
(x − a)
2
2σ 2
+exp
−
(x + a)
2
2σ 2
+2exp
−
x
2
σ 2
cos
2ap
(12.129)