12. Méthodes semi-classiques
525
Il est immédiat de vérifier la validité de (12.111), par exemple
dpw(x, p; t)=
dyδ(y)x +
y
2
|ρ(t)|x −
y
2
= x|ρ(t)|x
(12.118)
L’hermiticité de ρ, ρ = ρ
† , assure que w est réel, mais ne garantit en rien sa
positivité, tandis que Trρ =1assure la normalisation
dxdpw(x, p; t)=1
On définit la représentation de Wigner d’une propriété physique A (supposée indépendante du temps pour simplifier) par analogie avec (12.116)
A(x, p)=
+∞
−∞
e
−ipy/ x +
y
2
|A|x −
y
2
dy
(12.119)
Cette expression permet d’évaluer la valeur moyenne de A, A(t) dans l’état
ρ(t),e np a r t a n td e
A(t)=T r[ρ(t)A]=
dxdx
′ x|ρ(t)|x
′ x
′ |A|x
On exprime x|ρ(t)|x
′ grâce à la transformée de Fourier inverse de (12.116)
x +
y
2
|ρ(t)|x −
y
2
=
dp e
ipy/ w(x, p; t)
et on procède de même pour x
′ |A|x. On obtient finalement
A(t)=
dxdpw(x, p; t)A(x, p)
(12.120)
Cette formule rappelle bien évidemment celle de l’espace de phase classique
(12.112), et c’est cette expression qui donne à la représentation de Wigner
son intérêt particulier. Toutefois, il ne faut pas pousser l’analogie trop loin et
garder à l’esprit le fait que w n’est pas uniformément positif. Le carré de w
vérifie une inégalité intéressante (exercice 12.7.8)
dxdpw
2 (x, p; t) ≤
1
2π
(12.121)
qui montre que w ne peut pas être trop piquée.
À partir de l’équation d’évolution (11.33) de l’opérateur statistique, on
peut obtenir l’évolution temporelle de la distribution de Wigner. Celle-ci prend
la forme peu intuitive (exercice 12.7.9)
∂ t w(x, p; t)=−
p
m
∂ x w(x, p; t)
+
i
2π 2
+∞
−∞
dy e
−ipy/ x+
y
2
|ρ(t)|x−
y
2
V
x−
y
2
−V
x+
y
2
(12.122)
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Il est immédiat de vérifier la validité de (12.111), par exemple
dpw(x, p; t)=
dyδ(y)x +
y
2
|ρ(t)|x −
y
2
= x|ρ(t)|x
(12.118)
L’hermiticité de ρ, ρ = ρ
† , assure que w est réel, mais ne garantit en rien sa
positivité, tandis que Trρ =1assure la normalisation
dxdpw(x, p; t)=1
On définit la représentation de Wigner d’une propriété physique A (supposée indépendante du temps pour simplifier) par analogie avec (12.116)
A(x, p)=
+∞
−∞
e
−ipy/ x +
y
2
|A|x −
y
2
dy
(12.119)
Cette expression permet d’évaluer la valeur moyenne de A, A(t) dans l’état
ρ(t),e np a r t a n td e
A(t)=T r[ρ(t)A]=
dxdx
′ x|ρ(t)|x
′ x
′ |A|x
On exprime x|ρ(t)|x
′ grâce à la transformée de Fourier inverse de (12.116)
x +
y
2
|ρ(t)|x −
y
2
=
dp e
ipy/ w(x, p; t)
et on procède de même pour x
′ |A|x. On obtient finalement
A(t)=
dxdpw(x, p; t)A(x, p)
(12.120)
Cette formule rappelle bien évidemment celle de l’espace de phase classique
(12.112), et c’est cette expression qui donne à la représentation de Wigner
son intérêt particulier. Toutefois, il ne faut pas pousser l’analogie trop loin et
garder à l’esprit le fait que w n’est pas uniformément positif. Le carré de w
vérifie une inégalité intéressante (exercice 12.7.8)
dxdpw
2 (x, p; t) ≤
1
2π
(12.121)
qui montre que w ne peut pas être trop piquée.
À partir de l’équation d’évolution (11.33) de l’opérateur statistique, on
peut obtenir l’évolution temporelle de la distribution de Wigner. Celle-ci prend
la forme peu intuitive (exercice 12.7.9)
∂ t w(x, p; t)=−
p
m
∂ x w(x, p; t)
+
i
2π 2
+∞
−∞
dy e
−ipy/ x+
y
2
|ρ(t)|x−
y
2
V
x−
y
2
−V
x+
y
2
(12.122)