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Physique quantique : Exercices et applications
donnent la densité de probabilité de présence en position (ϕ α (x; t)=
x|ϕ α (t))
x|ρ(t)|x =
α
p α |ϕ α (x; t)|
2
(12.114)
étant donné que |ϕ α (x; t)|
2 est la probabilité de présence dans l’état |ϕ α (t).La
distribution de probabilité en impulsion est bien sûr donnée par les éléments
de matrice diagonaux de ρ(t) dans la représentation p, p|ρ(t)|p
p|ρ(t)|p =
α
p α | ˜
ϕ α (p; t)|
2
(12.115)
où ˜
ϕ α (p; t) est la transformée de Fourier de ϕ α (x; t). Ces éléments de matrice
diagonaux sont manifestement positifs
x|ρ(t)|x≥0
p|ρ(t)|p≥0
et peuvent être interprétés comme des densités de probabilité de position ou
d’impulsion, ce qui généralise les résultats de la section 8.1.
La distribution de Wigner w(x, p; t) est définie par
w(x, p; t)=
1
2π
+∞
−∞
e
−ipy/ x +
y
2
|ρ(t)|x −
y
2
dy
(12.116)
Sous cette forme, la symétrie entre x et p ne saute pas aux yeux, mais il est
facile de la retrouver en écrivant (noter que dans les équations qui suivent,
k est une impulsion)
|x −
y
2
=
+∞
−∞
dk |kk|x −
y
2
=
1
√
2π
+∞
−∞
dk e
−ik(x−y/2)/ |k
et une formule analogue pour x+y/2|. La distribution w(x, p; t) se transforme
en
w(x, p; t)=
dkdk
′ dy
(2π) 2 e
ik
′ (x+y/2)/ e
−ik(x−y/2)/ e
−ipy/ k
′ |ρ(t)|k
L’intégrale sur y donne un facteur 2πδ[p−(k+k
′ )/2], ce qui permet d’intégrer
sur k
′
w(x, p; t)=
2
(2π) 2
+∞
−∞
dq e
2i(p−k)x/ 2p − k|ρ(t)|k
Un changement de variable p−k = z/2 donne la forme symétrique de (12.116)
dans l’échange (x ↔ p)
w(x, p; t)=
1
2π
+∞
−∞
e
ixz/ p +
z
2
|ρ(t)|p −
z
2
dz
(12.117)