12. Méthodes semi-classiques
523
Il ne suffit évidemment pas de connaître ρ cl (q; t) et ρ cl (q; t), car c’est la distribution jointe ρ cl (q, p; t) qui décrit les corrélations entre q et p.U nexem p l ed e
densité ρ cl est donné par la distribution canonique d’équilibre (indépendante
du temps)
ρ cl (q, p)=
1
Z
e
−βH cl (q,p)
Z =
dqdp e
−βH cl (q,p)
où H cl est le hamiltonien classique, H cl = K + V , et la distribution de probabilité se factorise dans ce cas particulier
ρ cl (q, p)=ρ cl (q)ρ cl (p)
Si une propriété physique A cl est fonction des coordonnées q et p,l av a l e u r
moyenne de A cl est
A cl (t)=
dq dpρ cl (q, p; t)A cl (q, p)
(12.112)
On peut se demander s’il existe pour un système quantique décrit par un opérateur statistique ρ(t) l’analogue d’une distribution de probabilité dans l’espace de phase, ρ Q (q, p; t). En fait, il existe une infinité de solutions ρ Q (q, p; t)
obéissant à (12.110) et (12.111), mais elles dépendent de la préparation de
l’opérateur statistique (§ 11.1.4), et pas uniquement de ρ(t),s a u fb i e ne n -
tendu si ρ(t) représente un cas pur, puisque dans ce cas cette préparation
de ρ(t) est unique. Il n’existe pas de densité de probabilité ρ Q (q, p; t) ayant
toutes les propriétés souhaitées, et la fonction la plus utile en pratique est la
distribution de Wigner ρ W (q, p; t) ≡ w(q, p; t), aussi appelée représentation de
Wigner (de l’opérateur statistique) qui obéit à (12.110) et (12.111), mais n’est
pas en général uniformément positive : à strictement parler, on ne peut pas
l’interpréter comme une distribution de probabilité. Une autre distribution
utile est la distribution de Husimi ρ H (q, p; t), qui est positive mais n’obéit pas
à (12.111). Nous traiterons uniquement le cas de la distribution de Wigner et
renvoyons le lecteur aux références pour celle de Husimi.
12.5.2 La distribution de Wigner
Revenons au cas simple d’une particule quantique se déplaçant sur
l’axe Ox, q → x, p → p, la généralisation à un ensemble de coordonnées
(q, p) étant évidente. Soit ρ(t), l’opérateur statistique de la particule
ρ(t)=
α
p α |ϕ α (t)ϕ α (t)|
(12.113)
où les vecteurs |ϕ α sont normalisés, ϕ α |ϕ α =1 , mais pas nécessairement
orthogonaux. Les éléments diagonaux dans la représentation x, x|ρ(t)|x
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Il ne suffit évidemment pas de connaître ρ cl (q; t) et ρ cl (q; t), car c’est la distribution jointe ρ cl (q, p; t) qui décrit les corrélations entre q et p.U nexem p l ed e
densité ρ cl est donné par la distribution canonique d’équilibre (indépendante
du temps)
ρ cl (q, p)=
1
Z
e
−βH cl (q,p)
Z =
dqdp e
−βH cl (q,p)
où H cl est le hamiltonien classique, H cl = K + V , et la distribution de probabilité se factorise dans ce cas particulier
ρ cl (q, p)=ρ cl (q)ρ cl (p)
Si une propriété physique A cl est fonction des coordonnées q et p,l av a l e u r
moyenne de A cl est
A cl (t)=
dq dpρ cl (q, p; t)A cl (q, p)
(12.112)
On peut se demander s’il existe pour un système quantique décrit par un opérateur statistique ρ(t) l’analogue d’une distribution de probabilité dans l’espace de phase, ρ Q (q, p; t). En fait, il existe une infinité de solutions ρ Q (q, p; t)
obéissant à (12.110) et (12.111), mais elles dépendent de la préparation de
l’opérateur statistique (§ 11.1.4), et pas uniquement de ρ(t),s a u fb i e ne n -
tendu si ρ(t) représente un cas pur, puisque dans ce cas cette préparation
de ρ(t) est unique. Il n’existe pas de densité de probabilité ρ Q (q, p; t) ayant
toutes les propriétés souhaitées, et la fonction la plus utile en pratique est la
distribution de Wigner ρ W (q, p; t) ≡ w(q, p; t), aussi appelée représentation de
Wigner (de l’opérateur statistique) qui obéit à (12.110) et (12.111), mais n’est
pas en général uniformément positive : à strictement parler, on ne peut pas
l’interpréter comme une distribution de probabilité. Une autre distribution
utile est la distribution de Husimi ρ H (q, p; t), qui est positive mais n’obéit pas
à (12.111). Nous traiterons uniquement le cas de la distribution de Wigner et
renvoyons le lecteur aux références pour celle de Husimi.
12.5.2 La distribution de Wigner
Revenons au cas simple d’une particule quantique se déplaçant sur
l’axe Ox, q → x, p → p, la généralisation à un ensemble de coordonnées
(q, p) étant évidente. Soit ρ(t), l’opérateur statistique de la particule
ρ(t)=
α
p α |ϕ α (t)ϕ α (t)|
(12.113)
où les vecteurs |ϕ α sont normalisés, ϕ α |ϕ α =1 , mais pas nécessairement
orthogonaux. Les éléments diagonaux dans la représentation x, x|ρ(t)|x