12. Méthodes semi-classiques
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et dans la région x ϕ(x)=
1
k(x)
C 1 exp
i
x
a
k(u) du
+ C 2 exp
−i
x
a
k(u) du
Dans cette équation, le premier terme C 1 représente une onde incidente se
propageant vers la droite et arrivant sur la barrière, et le deuxième terme
C 2 une onde réfléchie. Pour relier le couple (A 1 ,A 2 ) au couple (C 1 ,C 2 ),o n
procède comme au § 12.4.3. Il existe trois lignes de Stokes partant du point
x = a et trois lignes de Stokes partant de x = b ; le segment de droite qui
joint x = a à x = b est une ligne de Stokes commune aux deux points.
Deux coupures partent de ces deux points. On trace un contour encerclant
l’ensemble des deux points en écrivant la loi de transformation des coefficients
chaque fois que l’on traverse une ligne de Stokes. Les différents coefficients
analogues de α, β, γ du § 12.4.3 sont déterminés en exigeant la continuité de
la fonction d’onde après un tour complet. Le calcul est fastidieux, et le lecteur
intéressé pourra consulter Child [1991], appendice A. Le résultat peut s’écrire
sous forme matricielle
13
A 1
A 2
=
(1 + e
2Ψ )
1/2 e
iφ
ie
Ψ
−ie
Ψ
(1 + e
2Ψ )
1/2 e
−iφ
C 1
C 2
(12.107)
avec
Ψ=
b
a
κ(u) du = −πδ
(12.108)
La phase φ qui intervient dans (12.107) vaut
φ =argΓ
1
2
+ iδ
− δ ln |δ| + δ
où Γ est la fonction factorielle. Pour appliquer (12.107) à l’effet tunnel où il
existe seulement une onde se propageant vers la droite dans la région x>b ,
on choisit A 2 =0. Comme la normalisation de l’onde incidente dans la région
x C 2 = −ie
−iφ e
Ψ (1 + e
2Ψ )
−1/2
et
A 1 = e
−iφ (1 + e
2Ψ )
−1/2
Ces équations donnent le coefficient de réflexion R
R = |C 2 |
2 =
1
(1 + e −2Ψ )
13. En fait, la phase φ n’est pas fixée par la procédure, et il est nécessaire de recourir à
un argument indépendant. Cependant, les coefficients de réflexion et de transmission sont
indépendants de φ.