518
Physique quantique : Exercices et applications
sont les indices de Maslov provenant des points de rebroussement en dimension
un et plus généralement des caustiques. Un des résultats fondamentaux de ce
type d’approche est la formule de trace de Gutzwiller [1990], chapitre 17, qui
donne la densité de niveaux en fonction des propriétés des orbites périodiques ;
voir aussi Stöckman [1999], chapitre 7.
12.4.5 Effet tunnel
b
E
x
V 0
V (x )
a
Fig. 12.5 – Barrière de potentiel.
Considérons maintenant un potentiel V (x) s’annulant pour x →±∞,possédant un maximum unique en x 0 , V (x 0 )=V 0 (figure 12.5), et une particule
d’énergie 0 en se propageant vers la droite. Une particule classique serait renvoyée en
x = a par la barrière de potentiel, mais une particule quantique possède une
probabilité non nulle de franchir la barrière. En effet, la fonction d’onde ne
s’annule pas dans la région a ≤ x ≤ b, et il est possible de la raccorder à
une onde progressive dans la région x>b. Le phénomène est analogue à celui
d’une onde évanescente en optique : lorsqu’une onde lumineuse arrive d’un
milieu d’indice n 1 dans un milieu d’indice n 2 ,a v e cn 2 totale pour des angles d’incidence plus grands que l’angle critique i 0 , donné
par sin i 0 = n 2 /n 1 . Si le milieu d’indice n 2 est une lame suffisamment mince,
la réflexion n’est pas totale, et il existe une petite probabilité de transmission
car l’onde lumineuse ne s’annule pas complètement dans la lame : elle décroît
exponentiellement, et elle peut donc se raccorder à une onde progressive dans
le milieu d’indice n 1 .
Les régions classiquement permises sont xb .D a n sl ar é g i o n
x>b, la fonction d’onde est donnée par (12.82)
ϕ(x)=
1
k(x)
A 1 exp
i
x
b
k(u) du
+ A 2 exp
−i
x
b
k(u) du