12. Méthodes semi-classiques
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données expérimentales ou numériques, (2) qu’appliquée à l’oscillateur harmonique, elle donne exactement les niveaux d’énergie (mais c’est un accident).
En effet, le potentiel est V (x)=mω
2 x
2 /2 et les points de rebroussement sont
x ± = ±
2E/mω 2 , ce qui donne pour l’angle Ψ
Ψ=
x+
x−
2m − m 2 ω 2 x 2 dx =
Eπ
ω
d’où les niveaux d’énergie E n =(n +1/2)ω.
La procédure de quantification semi-classique obtenue en (12.106) s’exprime en fonction de l’action classique S cl correspondant à un aller-retour de
la particule
1
S cl =
1
pdx =2π
n +
ν
4
où ν est l’indice de Maslov,e tν =2dans (12.106). Cette procédure de quantification peut se généraliser aux systèmes intégrables : pour un tel système,
si le nombre de degrés de liberté est d, les trajectoires sont situées sur un tore
à d dimensions dans l’espace de phase à 2d dimensions {x i ,p i }, i =1, ..., d.
Chaque boucle fermée tracée sur le tore donne lieu à une condition de quantification individualisée avec des indices de Maslov ν i
1
p i dx i =2π
n i +
ν i
4
et les niveaux d’énergie sont caractérisés par les entiers n 1 , ..., n d et sont
donnés par H(n 1 ,...,n d ),o ùH est le hamiltonien.
Pour des systèmes non intégrables, la quantification à la Bohr-Sommerfeld
n’est plus possible en l’absence de tores invariants. Néanmoins, grâce en particulier aux travaux de Gutzwiller, on a pu généraliser l’approximation BKW
aux systèmes non intégrables en partant d’une approximation semi-classique
pour l’intégrale de chemin. Ainsi que nous l’avons déjà noté en introduction à
ce chapitre, ces travaux sont techniquement très complexes et nous renvoyons
le lecteur aux livres cités en bibliographie, en nous contentant d’écrire la formule d’approximation semi-classique du propagateur dans la région permise
classiquement
K scl (x b ,x a ; t)=
i
2π
d/2
r
|D r (x b ,x a )|
1/2 exp
i
S r (x b ,x a ) −
iν r π
2
où D r est le déterminant de van Vleck
D r (x b ,x a )=det
−
∂
2 S r (x b ,x a )
∂x ai ∂x bj
et S r (x b ,x a ) est l’action classique pour aller du point x a au point x b en un
temps t ; la somme sur r porte sur toutes les trajectoires possibles, et les ν r
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données expérimentales ou numériques, (2) qu’appliquée à l’oscillateur harmonique, elle donne exactement les niveaux d’énergie (mais c’est un accident).
En effet, le potentiel est V (x)=mω
2 x
2 /2 et les points de rebroussement sont
x ± = ±
2E/mω 2 , ce qui donne pour l’angle Ψ
Ψ=
x+
x−
2m − m 2 ω 2 x 2 dx =
Eπ
ω
d’où les niveaux d’énergie E n =(n +1/2)ω.
La procédure de quantification semi-classique obtenue en (12.106) s’exprime en fonction de l’action classique S cl correspondant à un aller-retour de
la particule
1
S cl =
1
pdx =2π
n +
ν
4
où ν est l’indice de Maslov,e tν =2dans (12.106). Cette procédure de quantification peut se généraliser aux systèmes intégrables : pour un tel système,
si le nombre de degrés de liberté est d, les trajectoires sont situées sur un tore
à d dimensions dans l’espace de phase à 2d dimensions {x i ,p i }, i =1, ..., d.
Chaque boucle fermée tracée sur le tore donne lieu à une condition de quantification individualisée avec des indices de Maslov ν i
1
p i dx i =2π
n i +
ν i
4
et les niveaux d’énergie sont caractérisés par les entiers n 1 , ..., n d et sont
donnés par H(n 1 ,...,n d ),o ùH est le hamiltonien.
Pour des systèmes non intégrables, la quantification à la Bohr-Sommerfeld
n’est plus possible en l’absence de tores invariants. Néanmoins, grâce en particulier aux travaux de Gutzwiller, on a pu généraliser l’approximation BKW
aux systèmes non intégrables en partant d’une approximation semi-classique
pour l’intégrale de chemin. Ainsi que nous l’avons déjà noté en introduction à
ce chapitre, ces travaux sont techniquement très complexes et nous renvoyons
le lecteur aux livres cités en bibliographie, en nous contentant d’écrire la formule d’approximation semi-classique du propagateur dans la région permise
classiquement
K scl (x b ,x a ; t)=
i
2π
d/2
r
|D r (x b ,x a )|
1/2 exp
i
S r (x b ,x a ) −
iν r π
2
où D r est le déterminant de van Vleck
D r (x b ,x a )=det
−
∂
2 S r (x b ,x a )
∂x ai ∂x bj
et S r (x b ,x a ) est l’action classique pour aller du point x a au point x b en un
temps t ; la somme sur r porte sur toutes les trajectoires possibles, et les ν r