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Physique quantique : Exercices et applications
xb.P o u rx →−∞, la fonction d’onde doit être
de la forme
ϕ(x)=
A
κ(x)
exp
x
a
κ(u) du
(12.102)
tandis que dans la région III
ϕ(x)=
B
κ(x)
exp
−
x
b
κ(u) du
(12.103)
Dans la région intermédiaire II, la fonction d’onde est d’après (12.94) (raccordement à x = a)
2A
k(x)
cos
x
0
k(u) du −
π
4
mais d’après (12.95) elle prend aussi la forme (raccordement à x = b)
2B
k(x)
cos
x
0
k(u) du +
π
4
Écrivons la première forme de ϕ(x) en utilisant
x
a
k(u)du =
b
a
k(u)du +
x
b
k(u)du =Ψ+I(x)
où nous avons défini Ψ par
Ψ=
b
a
k(u)du
(12.104)
L e sd e u xf o r m e sd eϕ(x) dans la région II ne sont compatibles que si
e
2iΨ = −1
B = −iAe
iΨ
(12.105)
La première de ces équations donne la règle de quantification de BohrSommerfeld
Ψ=
b
a
k(u) du =
n +
1
2
π
(12.106)
et la seconde A =(−1)
n B. On reconnaît dans Ψ l’action classique du mouvement sur une demi-période dans le puits. L’équation (12.103) donne les niveaux d’énergie du puits de potentiel à l’approximation BKW. Le facteur 1/2
ne devrait pas a priori être pertinent, car la règle de Bohr-Sommerfeld n’est
en principe valable que pour des actions grandes par rapport à , c’est-à-dire
pour n ≫ 1 : il faut donc que le puits ait un nombre d’états liés suffisamment
grand. Toutefois, on observe (1) que cette règle devient de plus en plus précise quand S cl / →∞et que le facteur 1/2 est crucial pour l’accord avec les
Physique quantique : Exercices et applications
x
de la forme
ϕ(x)=
A
κ(x)
exp
x
a
κ(u) du
(12.102)
tandis que dans la région III
ϕ(x)=
B
κ(x)
exp
−
x
b
κ(u) du
(12.103)
Dans la région intermédiaire II, la fonction d’onde est d’après (12.94) (raccordement à x = a)
2A
k(x)
cos
x
0
k(u) du −
π
4
mais d’après (12.95) elle prend aussi la forme (raccordement à x = b)
2B
k(x)
cos
x
0
k(u) du +
π
4
Écrivons la première forme de ϕ(x) en utilisant
x
a
k(u)du =
b
a
k(u)du +
x
b
k(u)du =Ψ+I(x)
où nous avons défini Ψ par
Ψ=
b
a
k(u)du
(12.104)
L e sd e u xf o r m e sd eϕ(x) dans la région II ne sont compatibles que si
e
2iΨ = −1
B = −iAe
iΨ
(12.105)
La première de ces équations donne la règle de quantification de BohrSommerfeld
Ψ=
b
a
k(u) du =
n +
1
2
π
(12.106)
et la seconde A =(−1)
n B. On reconnaît dans Ψ l’action classique du mouvement sur une demi-période dans le puits. L’équation (12.103) donne les niveaux d’énergie du puits de potentiel à l’approximation BKW. Le facteur 1/2
ne devrait pas a priori être pertinent, car la règle de Bohr-Sommerfeld n’est
en principe valable que pour des actions grandes par rapport à , c’est-à-dire
pour n ≫ 1 : il faut donc que le puits ait un nombre d’états liés suffisamment
grand. Toutefois, on observe (1) que cette règle devient de plus en plus précise quand S cl / →∞et que le facteur 1/2 est crucial pour l’accord avec les