12. Méthodes semi-classiques
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où le coefficient α reste à déterminer. Sur la ligne de Stokes θ = π,l ep r e m i e r
terme de (12.82) est dominant et
A 1 + αA 2 → A 1 + αA 2
A 2 → A 2 + β(A 1 + αA 2 )
Sur la ligne de Stokes θ =5 π/3, le premier terme de (12.82) est à nouveau
dominant. Mais comme la coupure a été traversée, il faut prendre en compte
(12.98) et
A 1 + αA 2 →−i[A 2 + β(A 1 + αA 2 )]
A 2 + β(A 1 + αA 2 ) →−i[A 1 + αA 2 + γ(A 2 + β[A 1 + αA 2 ])]
(12.99)
L’analyticité de ϕ(z) implique que les coefficients A 1 et A 2 s’identifient respectivement à la première et à la seconde ligne de (12.99), ce qui permet de
déterminer les coefficients α, β et γ
α = β = γ = i
(12.100)
On en déduit immédiatement la formule de raccordement (12.94). En effet, si
l’on veut que ϕ(z) soit exponentiellement décroissante dans la région x<0
(sur la ligne de Stokes θ = π), le coefficient de ψ + doit s’annuler : A 1 +iA 2 =0,
soit
A 1 =
1
2
B 1 e
−iπ/4
A 2 =
1
2
B 1 e
iπ/4
(12.101)
où B 1 est défini en (12.81).
12.4.4 États liés
V 0
E
x
ab
V (x )
Fig. 12.4 – États liés d’un puits de potentiel.
Cherchons les états liés d’un puits de potentiel avec un minimum unique
(figure 12.4) à l’approximation BKW, en appelant a et b les abscisses des
points de rebroussement. Nous distinguons trois régions de l’axe des x :I: