20. Corrigés d’une sélection d’exercices
1001
On utilise alors la relation approchée valable pour des particules de faible
vitesse
Φ=
1
2m
( σ ·
P )Ψ
d’où
j
i =
1
2m
Ψ
† σ i σ k (P
k Ψ) + (P
k Ψ)
† σ k σ i Ψ
On utilise ensuite
σ i σ k = δ ik + iε ikl σ l
Le second terme de cette égalité donne une contribution à j
i (avec P
k = −i∂ k )
J
i =
1
2m
ε ikl ∂ k (Ψ
† σ l ψ)=
1
2m
∇×(Ψ
† σΨ)
i
19.6.10 Transformation de Lorentz d’un spineur de
Dirac
1. La relation x
ν =(Λ
−1 )
ν
µ x
′ µ montre que ∂x
ν /∂x
′ µ =(Λ
−1 )
ν
µ .C o m p t e
tenu de ψ
′ (x
′ )=S(Λ)ψ(x),o nd o i ta v o i r
iγ
µ ∂
′
µ S(Λ)ψ(x) − mS(Λ)ψ(x)=0
soit
iγ
µ (Λ
−1 )
ν
µ ∂ ν (S(Λ)ψ(x)) − mS(Λ)ψ(x)=0
Multiplions cette équation par S
−1 (Λ)
iS
−1 (Λ)γ
µ (Λ
−1 )
ν
µ S(Λ)∂ ν ψ(x) − mψ(x)=0
Pour retrouver l’équation de Dirac à laquelle obéit ψ(x),i lf a u tq u e
S
−1 (Λ)γ
µ (Λ
−1 )
ν
µ S(Λ) = γ
ν
et en multipliant par Λ
τ
ν
S
−1 (Λ)γ
τ S(Λ) = Λ
τ
ν γ
ν
2. Choisissant Λ voisine de l’identité, l’équation ci-dessus implique
−i
4
ω αβ [σ αβ ,γ
µ ]=̟
µ
ν γ
ν = ω αβ g
µα γ
β
=
1
2
ω αβ [g
µα γ
β − g
µβ γ
α ]
où nous avons antisymétrisé le membre de droite afin de pouvoir identifier les
coefficients de ω αβ . L’identification donne alors
[σ
αβ ,γ
µ ]=2i[g
µα γ
β − g
µβ γ
α ]