20. Corrigés d’une sélection d’exercices
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Le produit Λ
1
0 Λ
0
1 s’en déduit
Λ
1
0 Λ
0
1 = s
2
1 c 2 sin
2 θ + s 1 s 2 c 1 c 2 cos θ(1 + cos
2 θ)
+(s
2
1 c
2
2 + c
2
1 s
2
2 )cos
2 θ + s 1 s 2 c 1 sin
2 θ cos
2 θ
Il en découle
(1 + Λ
0
0 )Λ
1
1 − Λ
0
1 Λ
1
0 =( 1 + c 1 c 2 + s 1 s 2 cos θ) − (c 1 − 1)(c 2 − 1) sin
2 θ
=( 1 + c o s h ζ) − (c 1 − 1)(c 2 − 1) sin
2 θ
On en déduit le cosinus de l’angle de rotation de Thomas-Wigner
cos φ TW =1−
(c 1 − 1)(c 2 − 1)
1+coshζ
sin
2 θ
Le calcul de sin φ TW suit un schéma analogue.
5. La variation de vitesse δδ v est donnée par
δδ v =ˆ n tanh(χ + ε) − ˆ
x
1 tanh χ
soit en termes de composantes
δv
1 ≃
ε
cosh
2 χ
δv
2 ≃ θ tanh χ
La matrice représentative de Λ 1 (−χ) est
Λ 1 (−χ)=
⎛
⎝
cs0
sc0
001
⎞
⎠
et celle de Λ 2 (χ + ε, ˆ
n)
Λ 2 (χ + ε, ˆ
n)=
⎛
⎝
c + εs −s − εc
−sθ
−s − εc c + εs (c − 1)θ
−sθ
(c − 1)θ
1
⎞
⎠
La multiplication des deux matrices donne
Λ 2 Λ
−1
1 =
⎛
⎝
1
−ε
−sθ
−ε
1( c − 1)θ
−sθ −(c − 1)θ
1
⎞
⎠
ce qui s’exprime en fonction des générateurs infinitésimaux (19.53)
Λ 2 Λ
−1
1 = I − ε(iI
01 ) − sθ(iI
02 )+(c − 1)θ(iI
31 )
où iI
01 et iI
02 sont les générateurs infinitésimaux des boosts suivant ˆ
x
1 et ˆ
x
2
et iI
31 celui des rotations autour de ˆ
x
3 .