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Physique quantique : Exercices et applications
On en déduit S
1
1 et S
2
1
S
1
1 =1 + ( c o s h ζ − 1)
(Λ
1
0 )
2
sinh
2 ζ
=1+
(Λ
1
0 )
2
1+coshζ
S
2
1 =( c o s h ζ − 1)
Λ
1
0 Λ
2
0
sinh
2 ζ
=
Λ
1
0 Λ
2
0
1+coshζ
3. Le quadrivecteur transformé de e
(1) =(0, 1, 0) a pour composantes
Λe
(1) =(Λ
0
1 , Λ
1
1 , Λ
2
1 )
tandis que
Se
(1) =(S
0
1 ,S
1
1 ,S
2
1 )
Comme S
−1 Λ=R, le vecteur Re
(1) fait un angle φ TW avec l’axe Oˆ x
1
cos φ TW = −[S
−1 Λ] e
(1) · e
(1) = −[Λ] e
(1) · [S] e
(1)
(ne pas oublier le signe − de la métrique de Minkowski !), ce qui donne
cos φ TW = −Λ
0
1 S
0
1 +Λ
1
1 S
1
1 +Λ
2
1 S
2
1
= −Λ
0
1 Λ
1
0 +Λ
1
1
1+
(Λ
1
0 )
2
1+coshζ
+Λ
2
1
Λ
1
0 Λ
2
0
1+coshζ
=Λ
1
1
Λ
1
0 Λ
2
0
1+Λ 0
0
où nous avons utilisé (19.14) pour passer de la seconde à la troisième ligne.
4. Effectuons le produit Λ 2 Λ 1 , où nous rappelons que Λ 1 est un boost de
rapidité χ le long de ˆ
x
1
Λ 1 =
⎛
⎝
c 1 −s 1 0
−s 1 c 1 0
00
1
⎞
⎠
tandis que
Λ 2 =
⎛
⎝
c 2
−s 2 cos θ
−s 2 sin θ
−s 2 cos θ 1+(c 2 − 1) cos
2 θ (c 2 − 1) sin θ cos θ
−s 2 sin θ (c 2 − 1) sin θ cos θ 1+(c 2 − 1) sin
2 θ
⎞
⎠
La multiplication des deux matrices donne
Λ
0
0 =c o s h ζ = c 1 c 2 + s 1 s 2 cos θ
Λ
1
0 = −c 1 s 2 cos θ − s 1 [1 + (c 2 − 1) cos
2 θ]
Λ
0
1 = −s 1 c 2 − c 1 s 2 cos θ
Λ
1
1 = s 1 s 2 cos θ + c 1 [1 + (c 2 − 1) cos
2 θ]