20. Corrigés d’une sélection d’exercices
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Le cas où λ = ν donne X
′
1 =0. Passons à X
′
2 dans le cas où μ = λ = ν
X
′
2 = ε λστ ν g µλ J
στ P
λ = −g µλ ε νστλ J
στ P
λ
= −g µλ W ν
19.6.3 Rotation de Thomas-Wigner et précession
de Thomas
1. Partons de (19.7) écrite dans le point de vue passif
x
′ 0 = x
0 cosh η − x · ˆ
n sinh η
x
′ i
= x
i − ( x · ˆ
n)ˆ n
i +[( x · ˆ
n)coshη − x
0 sinh η]ˆ n
i
La composante suivant ˆ
x 3 ne joue aucun rôle dans ce qui suit et sera omise.
Le produit scalaire tridimensionnel x · ˆ
n vaut
x · ˆ
n = x
1 cos θ + x
2 sin θ
Les coordonnées transformées sont
x
′ 0 = x
0 cosh η − x
1 sinh η cos θ − x
2 sinh η sin θ
x
′ 1 = −x
0 sinh η cos θ + x
1 [1 + (cosh η − 1) cos
2 θ]+x
2 (cosh η − 1) sin θ cos θ
x
′ 2 = −x
0 sinh η sin θ + x
1 (cosh η − 1) sin θ cos θ + x
2 [1 + (cosh η − 1) sin
2 θ]
d’où l’on déduit la matrice représentative du boost. Comme on se limite aux
composantes (0, 1, 2), il suffit d’écrire la matrice 3 × 3
Λ 2 =
⎛
⎝
cosh η
− sinh η cos θ
− sinh η sin θ
− sinh η cos θ 1+(coshη − 1) cos
2 θ (cosh η − 1) sin θ cos θ
− sinh η sin θ (cosh η − 1) sin θ cos θ 1+(coshη − 1) sin
2 θ
⎞
⎠
On vérifie que Λ 2 est symétrique, Λ 2 =Λ
T
2 , comme il se doit pour un boost.
2. Soit e
(0) le vecteur (1, 0, 0, 0). Son transformé par Λ est e
′ (0) =
(Λ
0
0 , Λ
1
0 , Λ
2
0 ). D’après le résultat de la question 1,l eb o o s tS est donné
par
S =
⎛
⎝
cosh ζ
− sinh ζ cos ψ
− sinh ζ sin ψ
− sinh ζ cos ψ 1+(coshζ − 1) cos
2 ψ (cosh ζ − 1) sin ψ cos ψ
− sinh ζ sin ψ (cosh ζ − 1) sin ψ cos ψ 1+(coshζ − 1) sin
2 ψ
⎞
⎠
Comme Re
(0) = e
(0) , Se
(0) =Λe
(0) et par conséquent,
cosh ζ =Λ
0
0 ,
− sinh ζ cos ψ =Λ
1
0 ,
− sinh ζ sin ψ =Λ
2
0
d’où
cos ψ = −
Λ
1
0
sinh ζ
sin ψ = −
Λ
2
0
sinh ζ