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Physique quantique : Exercices et applications
20.19 Exercices du chapitre 19
19.6.1 Décomposition polaire d’une transformation
de Lorentz
2. De la relation
(Λ
0
0 )
2 −
3
i=1
(Λ
i
0 )
2 =1
on déduit
3
i=1 (Λ
i
0 )
2 =s i n h
2 η. On peut donc définir un vecteur unitaire
ˆ
n de composantes Λ
i
0 = −ˆ n
i sinh η et utiliser la transformation de Lorentz
spéciale S sous la forme (19.7). La transformation S
−1 Λ ne change pas e 0 :
S
−1 Λe 0 = e 0 , et elle agit donc uniquement sur les coordonnées d’espace : c’est
une rotation.
3. Comme RR
′ −1 est une rotation, RR
′ −1 e 0 = e 0 , et par conséquent
S
′ e 0 = Se 0 = e
′
0 : les transformations de Lorentz spéciales S et S
′ coïncident,
ce qui implique R = R
′ .
19.6.2 Relations de commutation des J µν et des W λ
1. Pour calculer le commutateur [J µν ,W λ ], on se sert de l’identité
[A, BC]=B[A, C]+[A, B]C
d’où les termes X 1 et X 2 .
2. (i) Examinons d’abord le cas où les 3 indices μ, ν et λ sont différents,
et étudions le premier terme de X 1
X
′
1 =2ε λντ ρ J
τ
µ P
ρ
Comme τ = μ, on a nécessairement ρ = μ et
X
′
1 =2ε λντ µ J
τ
µ P
µ = −2ε λµτ ν J
µτ P µ
Passons au premier terme de X 2
X
′
2 = ε λστ ν J
στ P µ
Dans ce cas, soit σ = μ,s o i tτ = μ
X
′
2 = ε λµτ ν J
µτ P µ + ε λσµν J
σµ P µ =2ε λµτ ν J
µτ P µ
ce qui implique X
′
1 + X
′
2 =0.Onm on t red em êm equ eX
′′
1 + X
′′
2 =0,etd on c
X 1 + X 2 =0.
(ii) Cas où λ = μ = ν
X
′
1
=2 ε λντ ρ J
τ
µ P
ρ = −2g µλ ε νλτρ J
λτ P
ρ
= −2g µλ W ν