20. Corrigés d’une sélection d’exercices
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avec un choix des projecteurs P(ε) qui n’est pas unique en général. On met
alors dρ/dt sous la forme de Lindblad
dρ
dt
= −
i
[H A + H LS ,ρ]+
ω
Γ + (ω)
A(ω) ρA(−ω) −
1
2
{A(−ω) A(ω),ρ}
3. Définissons
P (ε n ,t)=ε n |ρ(t)|ε n
où les niveaux ε n de H A + H LS sont supposés non dégénérés. Nous devons
alors calculer l’élément de matrice nn du membre de droite de l’équation de
Lindblad. Examinons le premier terme
ε n |A(ω)ρ(t)A(−ω)|ε n
= ε n |A(ω)|ε n + ωε n + ω|ρ(t)|ε n + ωε n + ω|A(−ω)|ε n
= |ε n |A(ω)|ε n + ω|
2 P (ε n + ω, t)
= W (ε n |ε n + ω)P (ε n + ω, t)
Nous en déduisons l’équation pilote
dP (ε n ,t)
dt
=
ω
W (ε n |ε n + ω)P (ε n + ω, t) − W (ε n + ω|ε n )P (ε n ,t)
18.4.11 L’équation de Fokker-Planck-Kramers pour
une particule brownienne
1. Nous nous limitons au deuxième terme [X, {P, ρ}] du membre de gauche
de(18.96), car les deux autres termes sont traités par une technique identique.
En utilisant la forme (12.116) de w, nous obtenons immédiatement
w(x, p; t)=
1
2π
+∞
−∞
e
−ipy/ x +
y
2
{P, ρ}|x −
y
2
y dy
=
i
2π
∂
∂p
+∞
−∞
e
−ipy/ x +
y
2
|{P, ρ}|x −
y
2
dy
Nous utilisons ensuite la forme (12.117) de w
w(x, p; t)=
1
2π
∂
∂p
+∞
−∞
e
−ipy/ x +
y
2
|{P, ρ}|p −
y
2
dy
=
i
2π
∂
∂p
p
+∞
−∞
e
−ixy/ p +
y
2
|{P, ρ}|x −
y
2
dy
= i
∂
∂p
[pw(x, p; t)]
2. Il suffit d’observer que w(x, p; t) doit s’annuler quand x →±∞.