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Physique quantique : Exercices et applications
Utilisant P(ε 1 ) P(ε)=δ ε,ε1 P(ε), nous en déduisons
[H A ,A(ω)] =
ε ′ −ε=ω
(ε − ε
′ )P(ε) A P(ε
′ )=ωA(ω)
Trois autres identités nous seront utiles :
(i)
A(−ω)=A
† (ω)
(ii)
ω
A(ω)=
ε,ε ′
P(ε) A P(ε
′ )=A
(iii)
[H A ,A
† (ω)A(ω)] = A
† (ω)[H A ,A(ω)] + [H A ,A
† (ω)]A(ω)=0
2. Il est commode de partir de l’équation pilote pour ˜
ρ. Examinons un de
ses termes
t
0
dt
′ g(t
′ )A(t − t
′ )˜ ρ(t)A(t)=
ω,ω ′
t
0
dt
′ g(t
′ )A(ω) e
−iω(t−t
′ ) ˜
ρ(t) A(ω
′ ) e
−iω
′ t
=
ω,ω ′
G + (ω)A(ω)˜ ρ(t)A(ω
′ ) e
−i(ω+ω
′ )t
À l’approximation séculaire, on conserve seulement les termes tels que ω+ω
′ =
0. Il est alors facile d’écrire d˜ ρ/dt
d˜ ρ
dt
=
ω
(G + (ω)+G
∗
+ (ω))A(ω)˜ ρA(−ω)
−G + (ω)A(−ω) A(ω)˜ ρ − G
∗
+ (ω)˜ ρA(−ω) A(ω)
Décomposons G(ω) en parties réelle et imaginaire
G ± (ω)=
1
2
Γ ± (ω) − i∆ ± (ω)
et définissons le hamiltonien du déplacement Lamb (Lamb shift) H LS par
H LS =
ω
∆ ± (ω)A(−ω) A(ω)
Comme A(−ω)A(ω) commute avec H A , on peut écrire
H LS =
ε
∆ ε P(ε)