20. Corrigés d’une sélection d’exercices
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Nous pouvons alors écrire l’état final comme une superposition de deux états
cohérents, mais la cohérence a été réduite par un facteur
|η(t)| =exp
−
1
2
|z 1 − z 2 |
2
1 − e
−Γt
≃ exp
−
Γ
2
|z 1 − z 2 |
2
La cohérence est donc amortie selon un taux qui est plus grand par un facteur
|z 1 − z 2 |
2 que le taux d’amortissement Γ des états cohérents individuels. Le
temps de décohérence est donc
τ dec =
2
Γ|z 1 − z 2 | 2
5. Au temps t =0, l’oscillateur est dans un état de superposition
|Φ(t =0) = c 1 |0 + c 2 |z
Le vecteur d’état global est à t =0
|Ψ(t =0) = c 1 |0 ⊗ 0 E + c 2 |z ⊗ 0 E
où |0 E est le vecteur d’état (état du vide) du champ de rayonnement, étant
donné que à T =0aucun photon (ou phonon) n’est disponible. La prem i è r ec o m p o s a n t ed e|Ψ reste inchangée sous l’évolution temporelle, parce
que l’émission spontanée n’est pas possible à partir de |0. Au contraire, un
photon sera émis en moyenne au bout d’un temps ∼ Γ|z|
2 en raison de la seconde composante de |Ψ. De fait, l’évolution de ρ nn dans la question 1 nous
dit que l’amplitude de désintégration d’un état excité |n est nΓ,etlenom bre
moyen n est égal à |z|
2 , |z|
2 = n dans l’état cohérent |z. Dès qu’un photon
est émis, les deux composantes de |Φ s’intriquent à des états orthogonaux
de l’environnement, et l’opérateur statistique réduit perd toute cohérence de
phase. Le temps de décohérence est donc le temps moyen d’émission d’un seul
photon,e tτ dec ≃ 1/(|z|
2 Γ).
18.4.8 Approximation séculaire et équation de Lindblad
1. Nous nous limitons à un seul indice α, le cas général s’en déduisant
trivialement. Nous avons donc
W = AR
où a été introduit de façon à compenser le facteur 1/
2 de (18.62). Il est
clair, d’après sa définition, que A(ω) diminue l’énergie de ω. Ceci est confirmé
par un calcul direct du commutateur [H A ,A(ω)]
[H A ,A(ω)] =
ε1
ε ′ −ε=ω
ε 1 P(ε 1 ) P(ε) A P(ε
′ ) −P(ε) A P(ε
′ ) P(ε 1 )ε 1
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Nous pouvons alors écrire l’état final comme une superposition de deux états
cohérents, mais la cohérence a été réduite par un facteur
|η(t)| =exp
−
1
2
|z 1 − z 2 |
2
1 − e
−Γt
≃ exp
−
Γ
2
|z 1 − z 2 |
2
La cohérence est donc amortie selon un taux qui est plus grand par un facteur
|z 1 − z 2 |
2 que le taux d’amortissement Γ des états cohérents individuels. Le
temps de décohérence est donc
τ dec =
2
Γ|z 1 − z 2 | 2
5. Au temps t =0, l’oscillateur est dans un état de superposition
|Φ(t =0) = c 1 |0 + c 2 |z
Le vecteur d’état global est à t =0
|Ψ(t =0) = c 1 |0 ⊗ 0 E + c 2 |z ⊗ 0 E
où |0 E est le vecteur d’état (état du vide) du champ de rayonnement, étant
donné que à T =0aucun photon (ou phonon) n’est disponible. La prem i è r ec o m p o s a n t ed e|Ψ reste inchangée sous l’évolution temporelle, parce
que l’émission spontanée n’est pas possible à partir de |0. Au contraire, un
photon sera émis en moyenne au bout d’un temps ∼ Γ|z|
2 en raison de la seconde composante de |Ψ. De fait, l’évolution de ρ nn dans la question 1 nous
dit que l’amplitude de désintégration d’un état excité |n est nΓ,etlenom bre
moyen n est égal à |z|
2 , |z|
2 = n dans l’état cohérent |z. Dès qu’un photon
est émis, les deux composantes de |Φ s’intriquent à des états orthogonaux
de l’environnement, et l’opérateur statistique réduit perd toute cohérence de
phase. Le temps de décohérence est donc le temps moyen d’émission d’un seul
photon,e tτ dec ≃ 1/(|z|
2 Γ).
18.4.8 Approximation séculaire et équation de Lindblad
1. Nous nous limitons à un seul indice α, le cas général s’en déduisant
trivialement. Nous avons donc
W = AR
où a été introduit de façon à compenser le facteur 1/
2 de (18.62). Il est
clair, d’après sa définition, que A(ω) diminue l’énergie de ω. Ceci est confirmé
par un calcul direct du commutateur [H A ,A(ω)]
[H A ,A(ω)] =
ε1
ε ′ −ε=ω
ε 1 P(ε 1 ) P(ε) A P(ε
′ ) −P(ε) A P(ε
′ ) P(ε 1 )ε 1