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Physique quantique : Exercices et applications
λ exp[−(Γ/2 − iω 0 )t] et λ
∗ exp[−(Γ/2+iω 0 )t] sont constants le long des caractéristiques. L’équation aux dérivées partielles pour C(λ, λ
∗ ; t) nous dit que
cette fonction est constante le long des caractéristiques
C(λ, λ
∗ ; t)=C 0 (λ, λ
∗ ; t =0)=C 0 (λ, λ
∗ )
4. L’opérateur statistique est au temps t =0
C 0 (λ, λ
∗ )=T r
|zz| e
λa
†
e
−λ
∗ a
= z|e
λa
†
e
−λ
∗ a |z =exp(λz
∗ − λ
∗ z)
Nous avons donc au temps t
C(λ, λ
∗ ; t)=exp
z
∗ λe
−(Γ/2−iω0)t ,λ
∗ ze
−(Γ/2+iω0)t
ce qui peut se récrire
C(λ, λ
∗ ; t)=exp[λz
∗ (t) − λ
∗ z(t)]
avec
z(t)=ze
−(Γ/2+iω0)t
et par conséquent, C(λ, λ
∗ ; t) correspond à l’état cohérent
|z(t) = |z e
−iω0t e
−Γt/2
5. Lorsque |Φ est une superposition d’états cohérents
|Φ = c 1 |z 1 + c 2 |z 2
alors
C(λ, λ
∗ ; t =0)=|c 1 |
2 e
(λz
∗
1 −λ
∗ z1) + |c 2 |
2 e
(λz
∗
2 −λ
∗ z2)
+c 1 c
∗
2 z 2 |z 1 e
(λz
∗
2 −λ
∗ z1) + c
∗
1 c 2 z 1 |z 2 e
(λz
∗
1 −λ
∗ z2)
Les deux derniers termes ont pour origine le fait que |Φ est une superposition cohérente, alors que ces termes seraient absents dans un superposition
incohérente des deux états cohérents. Au temps t,n o u sa v o n s
C(λ, λ
∗ ; t)=|c 1 |
2 e
[λz
∗
1 (t)−λ
∗ z1(t)] + |c 2 |
2 e
[λz
∗
2 (t)−λ
∗ z2(t)]
+ c 1 c
∗
2 z 2 |z 1 e
[λz
∗
2 (t)−λ
∗ z1(t)] + c
∗
1 c 2 z 1 |z 2 e
[λz
∗
1 (t)−λ
∗ z2(t)]
On remarque que les produits scalaires dans ces deux derniers termes sont
z 2 |z 1 et z 1 |z 2 ,e tn o nz 2 (t)|z 1 (t) et z 1 (t)|z 2 (t). Si l’on veut retrouver la
même forme qu’à t =0, on doit écrire par exemple
z 2 |z 1 =
z 2 |z 1
z 2 (t)|z 1 (t)
z 2 (t)|z 1 (t) = η(t)z 2 (t)|z 1 (t)