20. Corrigés d’une sélection d’exercices
991
ce qui peut se récrire
λ −
∂
∂λ ∗
→ ρa tandis que −
∂
∂λ ∗ → aρ
3. Examinons les différents termes dans le membre de droite de (18.36).
D’après les résultats de la question précédente,
a
† aρ →
∂
∂λ
− λ
∗
−
∂
∂λ ∗
= −
∂
2
∂λ∂λ ∗ + λ
∗ ∂
∂λ ∗
ρa
† a →
λ −
∂
∂λ ∗
∂
∂λ
= −
∂
2
∂λ∂λ ∗ + λ
∂
∂λ
de sorte que
[a
† a, ρ] → λ
∗ ∂
∂λ ∗ − λ
∂
∂λ
De même,
aρa
† →
∂
2
∂λ∂λ ∗
et
{a
† a, ρ} = −
∂
∂λ
− λ
∗
−
∂
∂λ ∗
+
λ −
∂
∂λ ∗
∂
∂λ
= −
∂
2
∂λ∂λ ∗ + λ
∗ ∂
∂λ ∗ + λ
∂
∂λ
Combinant tous ces résultats, nous en déduisons l’équation aux dérivées
partielles
∂
∂t
+
Γ
2
− iω 0
λ
∂
∂λ
+
Γ
2
+ iω 0
λ
∗ ∂
∂λ ∗
C(λ, λ
∗ ; t)=0
ou encore
∂
∂t
+
Γ
2
− iω 0
∂
∂ ln λ
+
Γ
2
+ iω 0
∂
∂ ln λ ∗
C(λ, λ
∗ ; t)=0
Afin d’appliquer la méthode des caractéristiques, nous écrivons
dt
1
=
d ln λ
Γ/2 − iω 0
=
d ln λ
∗
Γ/2+iω 0
d’où
λ = λ 0 exp[(Γ/2 − iω 0 )t]
λ
∗ = λ
∗
0 exp[(Γ/2+iω 0 )t]
ou en résolvant pour λ 0 , λ
∗
0
λ 0 = λ exp[−(Γ/2 − iω 0 )t]
λ
∗
0 = λ
∗ exp[−(Γ/2+iω 0 )t]