990
Physique quantique : Exercices et applications
et l’évolution de ρ nn est donc
dρ nn
dt
= −nΓρ nn +(n +1)Γρ n+1,n+1
Si nous choisissons n =0 , nous trouvons dρ/dt =Γ ρ 11 , ce qui veut dire que
la population de l’état fondamental augmente à un taux qui est proportionnel
à celle de l’état excité multipliée par Γ. Le processus physique correspondant
est l’émission spontanée d’un photon, de sorte que Γ est le taux d’émission
spontanée. L’équation d’évolution de ρ n+1,n est obtenue de
n +1|[H 0 ,ρ]|n = ω 0 ρ n+1,n
n +1|aρa
† |n =
(n +1)(n +2)ρ n+2,n+1
n +1|{a
† a, ρ}|n =( 2 n +1)ρ n+1,n
de sorte que
dρ n+1,n
dt
= −iω 0 ρ n+1,n +Γ
(n +1)(n +2)ρ n+2,n+1 −
1
2
Γ(2n +1)ρ n+1,n
2. Utilisant (2.70), nous obtenons
e
λ
∗ a a
† e
−λ
∗ a = a
† + λ
∗ [a, a
† ]=a
† + λ
∗
c’est-à-dire
a
† e
−λ
∗ a = e
−λ
∗ a
a
† + λ
∗
Prenant la dérivée de C(λ, λ
∗ ; t) par rapport à λ, nous en déduisons
∂
∂λ
Tr
ρ e
λa
†
e
−λ
∗ a
=T r
ρa
† e
λa
†
e
−λ
∗ a
=T r
ρ e
λa
†
e
−λ
∗ a (a
† + λ
∗ )
=T r
(a
† + λ
∗ )ρ e
λa
†
e
−λ
∗ a
où nous nous sommes servis de l’invariance de la trace par permutation circulaire pour obtenir la dernière ligne. Cette équation s’écrit schématiquement
comme
∂
∂λ
− λ
∗
→ a
† ρ tandis que
∂
∂λ
→ ρa
†
Nous obtenons, de même, pour ∂/∂λ
∗
∂
∂λ ∗ Tr
ρ e
λa
†
e
−λ
∗ a
= −Tr
ρ e
λa
† a e
−λ
∗ a
= −Tr
ρ (a − λ)e
λa
† a e
−λ
∗ a