20. Corrigés d’une sélection d’exercices
989
et à l’approximation séculaire
˜
H int = −
1
2
αγ
σ + a e
−iδt + σ − a
† e
iδt
où δ = ω − ω 0 est le désaccord et γ le facteur gyromagnétique. L’action de
l’opérateur a sur un état cohérent |z est simple : a|z = z|z, mais non celle
de a
† . On définit le vecteur |ε comme la différence entre a
† |z et z
∗ |z
a
† |z = z
∗ |z + |ε
Il est facile de montrer que z|ε =0et que ε
2 = ε|ε =1 .E ne ff e t ,e n
multipliant l’équation
a
† |z = z
∗ |z + |ε
par le bra z|,o nt r o u v e
z|a
† |z = z
∗ = z
∗ + z|ε
et donc z|ε =0. D’autre part,
ε
2 =(z|a − zz|)(a
† |z−z
∗ |z)=1
Ajouter un photon à un état cohérent le modifie de façon négligeable si |z|≫1.
L’action de ˜
H int sur un état cohérent peut donc s’écrire grâce à la substitution
a
† |z→z
∗ |z + |ε
de la façon suivante
˜
H int ≃−
1
2
ω 1
σ + e
iφ e
−iδt + σ − e
−iφ e
iδt
|zz|−
1
2
ω 1
|z|
σ − e
iδt |εz|
Le premier terme de ˜
H int reproduit exactement le hamiltonien d’interaction
avec un champ classique, le deuxième terme, responsable de l’intrication spinchamp, est négligeable lorsque |z|≫1, ce qui est le cas pour un champ
classique. L’interaction avec le champ classique maintient la cohérence entre
les états de spin |↑↑ 1 et |↑↑ 2 , et les interférences ne sont pas détruites.
20.18 Exercices du chapitre 18
18.4.6 Superposition d’états cohérents
1. Le terme [H 0 ,ρ] ne contribue pas à l’évolution de ρ nn parce que H 0 est
diagonal dans la base {|n}.D ep l u s ,
n|a
† aρ + ρa
† a|n =2 nρ nn
n|aρa
† |n =( n +1)ρ n+1,n+1