12. Méthodes semi-classiques
513
Il faut souligner que la flèche dans (12.94) ne fonctionne que dans le sens
indiqué. Il est facile de montrer une formule analogue lorsque K<0 (exercice 12.7.7)
1
κ(x)
exp
−
x
0
κ(u) du
=⇒
2
k(x)
cos
x
0
k(u) du +
π
4
(12.95)
12.4.3 Phénomène de Stokes
Le comportement asymptotique (12.87)-(12.90) des fonctions Ai et Bi est
une conséquence du phénomène de Stokes que l’on met en évidence en prolongeant la formule (12.82) dans le plan complexe z = r exp(iθ). Concentronsnous en premier lieu sur les exposants : le premier exposant devient
i
z
0
k(u)du =
2
3
i z
3/2 =
2
3
i r
3/2 e
3iθ/2
=
2
3
r
3/2
cos
3θ
2
+
π
2
+ i sin
3θ
2
+
π
2
(12.96)
Le deuxième exposant s’obtient en changeant π/2 en −π/2 dans la seconde
ligne de (12.96). Les deux exposants sont réels pour θ = π/3, θ = π et
θ =5π/3. Les trois demi-droites correspondantes tracées à partir de l’origine
dans le plan complexe sont appelées lignes de Stokes (figure 12.3). Les deux
exposants sont imaginaires purs pour θ =0, θ =2π/3 et θ =4π/3,etlestrois
demi-droites correspondantes sont appelées lignes anti-Stokes. Sur les lignes de
Stokes, une des deux exponentielles est dominante, car l’un des exposants est
positif et l’autre négatif ; rappelons que nous nous intéressons à une situation
où → 0 où les exposants sont grands en valeur absolue.
Le deuxième facteur à prendre en compte dans l’expression asymptotique
de la fonction d’onde est
k
−1/2 (z)=z
−1/4 = r
−1/4 e
−iθ/4
Ce facteur impose une coupure dans le plan complexe. La position de cette
coupure est arbitraire, et nous la choisirons entre les deux lignes de Stokes à
θ = π et θ =5π/3 (figure 12.3). Si nous récrivons (12.82) sous la forme
ϕ(z)=A + ψ + (z)+A − ψ − (z)
ψ ± (z)=k
−1/2 (z)e x p
±i
z
0
k(u) du
(12.97)
nous voyons que ψ − domine sur la ligne de Stokes θ = π/3 et ψ + sur les deux
autres lignes. La détermination du terme dominant dépend de la position de
la coupure : si celle-ci était placée entre θ =5 π/3 et θ =0 ,c ’ e s tψ − qui
dominerait sur la ligne de Stokes θ =5 π/3. Lorsque l’on encercle le point
513
Il faut souligner que la flèche dans (12.94) ne fonctionne que dans le sens
indiqué. Il est facile de montrer une formule analogue lorsque K<0 (exercice 12.7.7)
1
κ(x)
exp
−
x
0
κ(u) du
=⇒
2
k(x)
cos
x
0
k(u) du +
π
4
(12.95)
12.4.3 Phénomène de Stokes
Le comportement asymptotique (12.87)-(12.90) des fonctions Ai et Bi est
une conséquence du phénomène de Stokes que l’on met en évidence en prolongeant la formule (12.82) dans le plan complexe z = r exp(iθ). Concentronsnous en premier lieu sur les exposants : le premier exposant devient
i
z
0
k(u)du =
2
3
i z
3/2 =
2
3
i r
3/2 e
3iθ/2
=
2
3
r
3/2
cos
3θ
2
+
π
2
+ i sin
3θ
2
+
π
2
(12.96)
Le deuxième exposant s’obtient en changeant π/2 en −π/2 dans la seconde
ligne de (12.96). Les deux exposants sont réels pour θ = π/3, θ = π et
θ =5π/3. Les trois demi-droites correspondantes tracées à partir de l’origine
dans le plan complexe sont appelées lignes de Stokes (figure 12.3). Les deux
exposants sont imaginaires purs pour θ =0, θ =2π/3 et θ =4π/3,etlestrois
demi-droites correspondantes sont appelées lignes anti-Stokes. Sur les lignes de
Stokes, une des deux exponentielles est dominante, car l’un des exposants est
positif et l’autre négatif ; rappelons que nous nous intéressons à une situation
où → 0 où les exposants sont grands en valeur absolue.
Le deuxième facteur à prendre en compte dans l’expression asymptotique
de la fonction d’onde est
k
−1/2 (z)=z
−1/4 = r
−1/4 e
−iθ/4
Ce facteur impose une coupure dans le plan complexe. La position de cette
coupure est arbitraire, et nous la choisirons entre les deux lignes de Stokes à
θ = π et θ =5π/3 (figure 12.3). Si nous récrivons (12.82) sous la forme
ϕ(z)=A + ψ + (z)+A − ψ − (z)
ψ ± (z)=k
−1/2 (z)e x p
±i
z
0
k(u) du
(12.97)
nous voyons que ψ − domine sur la ligne de Stokes θ = π/3 et ψ + sur les deux
autres lignes. La détermination du terme dominant dépend de la position de
la coupure : si celle-ci était placée entre θ =5 π/3 et θ =0 ,c ’ e s tψ − qui
dominerait sur la ligne de Stokes θ =5 π/3. Lorsque l’on encercle le point