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Physique quantique : Exercices et applications
Stegun [1964], p. 446, ou dans Landau et Lifschitz [1966], appendice ; voir
également Ballentine [1998], chapitre 5
12 . Elles peuvent s’exprimer en terme
des fonctions de Bessel J 1/3 (z) et J −1/3 (z), ce qui est utile pour déterminer
leur comportement asymptotique. Le point important est l’expression de leur
développement asymptotique pour t → +∞ (x>0)
Ai(−t) ≃
t
−1/4
√ π
cos
z −
π
4
(12.87)
Bi(−t) ≃−
t
−1/4
√
π
sin
z −
π
4
(12.88)
et pour t →−∞(x<0)
Ai(−t) ≃
1
2
|t|
−1/4
√
π
e
−z
(12.89)
Bi(−t) ≃
|t|
−1/4
√
π
e
z
(12.90)
La variable z est définie par
x>0(t>0) : z =
2
3
t
3/2 =
2
3
2
2mK
k
3 (x)=
z
0
k(u) du (12.91)
x<0(t<0) : z =
2
3
|t|
3/2 =
2
3
2
2mK
κ
3 (x)=−
z
0
κ(u) du
(12.92)
La solution générale de (12.86) est une combinaison linéaire de Ai(−t) et
de Bi(−t)
ψ(t)=C A Ai(−t)+C B Bi(−t)
(12.93)
Il est essentiel d’observer que cette solution est valable àlaf oisdans la région
t<0 et dans la région t>0 :l ep o i n tt =0n’est pas un point singulier
de (12.93) car les fonctions Ai(−t)et Bi(−t) sont des fonctions analytiques
de t. Un examen superficiel des équations (12.81), (12.82) et (12.93) semble
montrer que l’on peut relier (A 1 ,A 2 ) à (B 1 ,B 2 ) en exprimant ces coefficients
en fonction de C A et C B , compte tenu du développement asymptotique des
fonctions d’Airy. En fait, il n’en est rien, car si C B =0 , le comportement
asymptotique de la fonction Ai pour x<0 est complètement noyé dans le
bruit de fond des corrections en z
−n exp z au comportement asymptotique de
Bi. Le seul cas où une identification est possible est celui où C B =0 .L e s
équations (12.87) et (12.89) conduisent alors à la formule de raccordement
1
κ(x)
exp
x
0
κ(u) du
=⇒
2
k(x)
cos
x
0
k(u) du −
π
4
(12.94)
12. Les fonctions d’Airy sont définies de façon conventionnelle comme les solutions de
l’équation ψ ′′ (t) − tψ(t)=0 , d’où le signe moins de l’argument de ces fonctions dans
(12.87)-(12.90).
Physique quantique : Exercices et applications
Stegun [1964], p. 446, ou dans Landau et Lifschitz [1966], appendice ; voir
également Ballentine [1998], chapitre 5
12 . Elles peuvent s’exprimer en terme
des fonctions de Bessel J 1/3 (z) et J −1/3 (z), ce qui est utile pour déterminer
leur comportement asymptotique. Le point important est l’expression de leur
développement asymptotique pour t → +∞ (x>0)
Ai(−t) ≃
t
−1/4
√ π
cos
z −
π
4
(12.87)
Bi(−t) ≃−
t
−1/4
√
π
sin
z −
π
4
(12.88)
et pour t →−∞(x<0)
Ai(−t) ≃
1
2
|t|
−1/4
√
π
e
−z
(12.89)
Bi(−t) ≃
|t|
−1/4
√
π
e
z
(12.90)
La variable z est définie par
x>0(t>0) : z =
2
3
t
3/2 =
2
3
2
2mK
k
3 (x)=
z
0
k(u) du (12.91)
x<0(t<0) : z =
2
3
|t|
3/2 =
2
3
2
2mK
κ
3 (x)=−
z
0
κ(u) du
(12.92)
La solution générale de (12.86) est une combinaison linéaire de Ai(−t) et
de Bi(−t)
ψ(t)=C A Ai(−t)+C B Bi(−t)
(12.93)
Il est essentiel d’observer que cette solution est valable àlaf oisdans la région
t<0 et dans la région t>0 :l ep o i n tt =0n’est pas un point singulier
de (12.93) car les fonctions Ai(−t)et Bi(−t) sont des fonctions analytiques
de t. Un examen superficiel des équations (12.81), (12.82) et (12.93) semble
montrer que l’on peut relier (A 1 ,A 2 ) à (B 1 ,B 2 ) en exprimant ces coefficients
en fonction de C A et C B , compte tenu du développement asymptotique des
fonctions d’Airy. En fait, il n’en est rien, car si C B =0 , le comportement
asymptotique de la fonction Ai pour x<0 est complètement noyé dans le
bruit de fond des corrections en z
−n exp z au comportement asymptotique de
Bi. Le seul cas où une identification est possible est celui où C B =0 .L e s
équations (12.87) et (12.89) conduisent alors à la formule de raccordement
1
κ(x)
exp
x
0
κ(u) du
=⇒
2
k(x)
cos
x
0
k(u) du −
π
4
(12.94)
12. Les fonctions d’Airy sont définies de façon conventionnelle comme les solutions de
l’équation ψ ′′ (t) − tψ(t)=0 , d’où le signe moins de l’argument de ces fonctions dans
(12.87)-(12.90).