12. Méthodes semi-classiques
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Pour x>0, et suffisamment loin de x =0, la solution devient
x>0:ϕ(x)=
1
k(x)
A 1 exp
i
x
0
k(u) du
+ A 2 exp
−i
x
0
k(u) du
(12.82)
Les solutions approchées de (12.81)-(12.82) de l’équation originale (12.75) ne
sont pas valables au voisinage de x =0 , où l’approximation (12.79) n’est
pas vérifiée. Ces solutions sont singulières en ce point, car elles présentent un
point de branchement à x =0, dû à la racine carrée et à l’exponentielle. Ces
singularités sont des artefacts de l’approximation, car la solutions exacte ϕ(x)
n’est pas singulière en ce point. Il doit être possible de raccorder les solutions
approchées (12.81) et (12.82), et c’est ce raccordement qui va fixer les relations
entre les coefficients (A 1 ,A 2 ) et (B 1 ,B 2 ). Cependant, ce raccordement n’est
pas évident en raison du phénomène de Stokes, que nous étudierons au § 12.4.3.
12.4.2 Formules de raccordement
En supposant que [E − V (x)] s’annule linéairement en x =0, nous allons
utiliser une approximation linéaire au voisinage de ce point
E − V (x)=Kx
(12.83)
Le potentiel correspond à un champ de forces constant. L’équation de Schrödinger (12.75) devient au voisinage de x =0
d
2 ϕ
dx 2 +
2mK
2 xϕ(x)=0
(12.84)
Introduisons la variable sans dimension t
t =
2mK
2
1/3
x
(12.85)
L’équation (12.84) devient avec cette variable
ψ
′′ (t)+tψ(t)=0
ψ(t)=ϕ
2
2mK
1/3
x
(12.86)
À ce point nous devons distinguer les régions x>0 et x<0. Nous allons nous
limiter au cas K>0, car les formules du cas K<0 s’en déduisent facilement
(exercice 12.7.7). Un théorème sur les équations différentielles nous assure que
les solutions de (12.86) sont des fonctions analytiques de t. Plus généralement,
on montre que si le potentiel V (x) peut être prolongé à des valeurs complexes
z,etsiV (z) est analytique, les solutions ϕ(z) de l’équation de Schrödinger sont
aussi des fonctions analytiques de z. Les solutions de (12.86) sont les fonctions
d’Airy Ai(−t) et Bi(−t), dont on trouvera les propriétés dans Abramowitz et
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Pour x>0, et suffisamment loin de x =0, la solution devient
x>0:ϕ(x)=
1
k(x)
A 1 exp
i
x
0
k(u) du
+ A 2 exp
−i
x
0
k(u) du
(12.82)
Les solutions approchées de (12.81)-(12.82) de l’équation originale (12.75) ne
sont pas valables au voisinage de x =0 , où l’approximation (12.79) n’est
pas vérifiée. Ces solutions sont singulières en ce point, car elles présentent un
point de branchement à x =0, dû à la racine carrée et à l’exponentielle. Ces
singularités sont des artefacts de l’approximation, car la solutions exacte ϕ(x)
n’est pas singulière en ce point. Il doit être possible de raccorder les solutions
approchées (12.81) et (12.82), et c’est ce raccordement qui va fixer les relations
entre les coefficients (A 1 ,A 2 ) et (B 1 ,B 2 ). Cependant, ce raccordement n’est
pas évident en raison du phénomène de Stokes, que nous étudierons au § 12.4.3.
12.4.2 Formules de raccordement
En supposant que [E − V (x)] s’annule linéairement en x =0, nous allons
utiliser une approximation linéaire au voisinage de ce point
E − V (x)=Kx
(12.83)
Le potentiel correspond à un champ de forces constant. L’équation de Schrödinger (12.75) devient au voisinage de x =0
d
2 ϕ
dx 2 +
2mK
2 xϕ(x)=0
(12.84)
Introduisons la variable sans dimension t
t =
2mK
2
1/3
x
(12.85)
L’équation (12.84) devient avec cette variable
ψ
′′ (t)+tψ(t)=0
ψ(t)=ϕ
2
2mK
1/3
x
(12.86)
À ce point nous devons distinguer les régions x>0 et x<0. Nous allons nous
limiter au cas K>0, car les formules du cas K<0 s’en déduisent facilement
(exercice 12.7.7). Un théorème sur les équations différentielles nous assure que
les solutions de (12.86) sont des fonctions analytiques de t. Plus généralement,
on montre que si le potentiel V (x) peut être prolongé à des valeurs complexes
z,etsiV (z) est analytique, les solutions ϕ(z) de l’équation de Schrödinger sont
aussi des fonctions analytiques de z. Les solutions de (12.86) sont les fonctions
d’Airy Ai(−t) et Bi(−t), dont on trouvera les propriétés dans Abramowitz et